Theorem fsumsplit 14471

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3776	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	syl5sseqr 3654	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4	3	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
5		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
6	4, 5	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
8		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
9	8	olcd 408	. . . 4 |- ( ph -> ( U C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ U e. Fin ) )
10		sumss2 14457	. . . 4 |- ( ( ( A C_ U /\ A. k e. A C e. CC ) /\ ( U C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ U e. Fin ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
11	3, 7, 9, 10	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
12		ssun2 3777	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
13	12, 2	syl5sseqr 3654	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
14	13	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
15	14, 5	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
16	15	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
17		sumss2 14457	. . . 4 |- ( ( ( B C_ U /\ A. k e. B C e. CC ) /\ ( U C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ U e. Fin ) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
18	13, 16, 9, 17	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
19	11, 18	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
20		0cn 10032	. . . 4 |- 0 e. CC
21		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
22	5, 20, 21	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
23		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
24	5, 20, 23	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
25	8, 22, 24	fsumadd 14470	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
26	2	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
27		elun 3753	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
28	26, 27	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
29	28	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
30		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
32		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
33		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
34		fsumsplit.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
35	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
36	33, 35	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
37	32, 36	mtbii 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
38		imnan 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
39	37, 38	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
41	40	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
42	31, 41	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
43	6	addid1d 10236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
44	42, 43	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
45	39	con2d 129	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
47	46	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
48		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
49	48	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
50	47, 49	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
51	15	addid2d 10237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
52	50, 51	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
53	44, 52	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
54	29, 53	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
55	54	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
56	19, 25, 55	3eqtr2rd 2663	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   ZZ>=cuz 11687   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  14472  sumpr  14477  sumtp  14478  fsumm1  14480  fsum1p  14482  fsumsplitsnun  14484  fsumsplitsnunOLD  14486  fsum2dlem  14501  fsumless  14528  fsumabs  14533  fsumrlim  14543  fsumo1  14544  o1fsum  14545  cvgcmpce  14550  fsumiun  14553  incexclem  14568  incexc  14569  isumltss  14580  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  mertenslem1  14616  bitsinv1  15164  bitsinvp1  15171  sylow2a  18034  fsumcn  22673  ovolfiniun  23269  volfiniun  23315  uniioombllem3  23353  itgfsum  23593  dvmptfsum  23738  vieta1lem2  24066  mtest  24158  birthdaylem2  24679  fsumharmonic  24738  ftalem5  24803  chtprm  24879  chtdif  24884  perfectlem2  24955  lgsquadlem2  25106  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  rpvmasum2  25201  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem3  25208  pntrsumbnd2  25256  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd2  25276  pntlemf  25294  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  vtxdgoddnumeven  26449  indsumin  30084  signsplypnf  30627  fsum2dsub  30685  hgt750lemd  30726  tgoldbachgtde  30738  jm2.22  37562  jm2.23  37563  sumpair  39194  sumnnodd  39862  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stoweidlem44  40261  sge0resplit  40623  sge0split  40626  fsumsplitsndif  41343  perfectALTVlem2  41631