Theorem gausslemma2dlem0d 25084

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 25099. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	|- ( ph -> M e. NN0 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3	2	gausslemma2dlem0a 25081	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nnre 11027	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. RR )
5		4re 11097	. . . . . 6 |- 4 e. RR
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
7		4ne0 11117	. . . . . 6 |- 4 =/= 0
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. NN -> 4 =/= 0 )
9	4, 6, 8	redivcld 10853	. . . 4 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
10		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 11354	. . . . 5 |- ( P e. NN -> 0 <_ P )
12		4pos 11116	. . . . . . 7 |- 0 < 4
13	5, 12	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
14	13	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) )
15		divge0 10892	. . . . 5 |- ( ( ( P e. RR /\ 0 <_ P ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( P / 4 ) )
16	4, 11, 14, 15	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( P e. NN -> 0 <_ ( P / 4 ) )
17	9, 16	jca 554	. . 3 |- ( P e. NN -> ( ( P / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( P / 4 ) ) )
18		flge0nn0 12621	. . 3 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( P / 4 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN0 )
19	3, 17, 18	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN0 )
20	1, 19	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> M e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   |_cfl 12591   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  25088  gausslemma2dlem2  25092  gausslemma2dlem3  25093  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem6  25097