Theorem gausslemma2dlem6 25097

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 25099. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2d.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   R( x)   N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . 4 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		gausslemma2d.m	. . . 4 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 25094	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
6	5	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
7		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
8	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 25092	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
10		rspa 2930	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
11	10	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
13		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. ZZ )
14		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> 2 e. ZZ )
16	13, 15	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
18		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( k x. 2 ) e. ZZ ) )
19	17, 18	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
20	12, 19	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
21	9, 20	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
22	7, 21	fprodzcl 14684	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ )
23		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) e. Fin )
24	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 25093	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
26		rspa 2930	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
27	26	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
29	1	gausslemma2dlem0a 25081	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
30	29	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
31		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
32	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. ZZ )
33	31, 32	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
34		zsubcl 11419	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k x. 2 ) e. ZZ ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
35	30, 33, 34	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
36		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ ) )
37	35, 36	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
38	28, 37	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
39	25, 38	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
40	23, 39	fprodzcl 14684	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ )
41	40	zred 11482	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. RR )
42		nnoddn2prm 15516	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
43		nnrp 11842	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
44	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. RR+ )
45	1, 42, 44	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> P e. RR+ )
46		modmulmodr 12736	. . . 4 |- ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
47	46	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
48	22, 41, 45, 47	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
49		gausslemma2d.n	. . . . . 6 |- N = ( H - M )
50	1, 2, 3, 4, 49	gausslemma2dlem5 25096	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
53		neg1rr 11125	. . . . . . 7 |- -u 1 e. RR
54	53	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
55	1, 4, 2, 49	gausslemma2dlem0h 25088	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
56	54, 55	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
57	31	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
58	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
59	57, 58	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
60	23, 59	fprodzcl 14684	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. ZZ )
61	60	zred 11482	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. RR )
62	56, 61	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. RR )
63		modmulmodr 12736	. . . 4 |- ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
64	22, 62, 45, 63	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
65	8	prodeq2d 14652	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
67		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
68		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
69	68	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. CC )
71		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
73	67, 70, 72	fprodmul 14690	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) )
74	1, 4	gausslemma2dlem0d 25084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
75	74	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
76	75	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
77		fzdisj 12368	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
79		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
80		nn0pzuz 11745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
82	74	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
83	1, 2	gausslemma2dlem0b 25082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
84	83	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
85	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 25087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ H )
86		eluz2 11693	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
87	82, 84, 85, 86	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
88		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ H e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
90	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
91	68, 90	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
94	78, 89, 67, 93	fprodsplit 14696	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
95		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
96	95	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
97	42, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
98		nn0oddm1d2 15101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
99	98	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
100	2, 99	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> H e. NN0 )
101	1, 97, 100	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN0 )
102		fprodfac 14703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) k = ( ! ` H ) )
105		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... H ) e. Fin
106	105, 71	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC )
107		fprodconst 14708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ ( # ` ( 1 ... H ) ) ) )
108	106, 107	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ ( # ` ( 1 ... H ) ) ) )
109	104, 108	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ ( # ` ( 1 ... H ) ) ) ) )
110		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... H ) ) = H )
111	101, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... H ) ) = H )
112	111	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( # ` ( 1 ... H ) ) ) = ( 2 ^ H ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ ( # ` ( 1 ... H ) ) ) ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) )
114	101	faccld 13071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
115	114	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. CC )
116		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
117		nn0expcl 12874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. NN0 )
118	117	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. CC )
119	116, 101, 118	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ H ) e. CC )
120	115, 119	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
121	109, 113, 120	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
122	73, 94, 121	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
123	66, 122	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
124	123	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
125	22	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. CC )
126	56	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. CC )
127	60	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. CC )
128	125, 126, 127	mul12d 10245	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) )
129	126, 119, 115	mulassd 10063	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
130	124, 128, 129	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) )
131	130	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
132	52, 64, 131	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
133	6, 48, 132	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860   !cfa 13060   #chash 13117   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  25098