Theorem gausslemma2dlem3 25093

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 25099. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem3	|- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
4	3	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
5	3	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
6	4, 3, 5	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7	6	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
8		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
9	8	gausslemma2dlem0a 25081	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
10		elfz2 12333	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) )
11		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
12	11	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
13	12	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) <_ k <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k )
14		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. RR )
15		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
17		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 =/= 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 4 =/= 0 )
19	14, 16, 18	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. RR )
21		fllelt 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P / 4 ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
23	19	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
24	23	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR )
25		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
28		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> k e. RR )
30		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
31	20, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
32	31	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
33	32	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
34	22, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) )
35	34	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k )
36	14	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 2 ) e. RR )
38		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> 2 e. RR )
40	28, 39	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
42		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
43	38, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
45		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
46	37, 41, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
47		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
48		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
50		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
51	47, 49, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
52		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 2 ) = 4
53	52	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P / ( 2 x. 2 ) ) = ( P / 4 )
54	51, 53	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / 4 ) )
55		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
56		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
57		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 =/= 0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 =/= 0 )
59	55, 56, 58	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) / 2 ) = k )
60	54, 59	breqan12rd 4670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
61	46, 60	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
63	35, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
64	63	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( P e. NN -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
65	64	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
66	13, 65	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
67	66	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
68	67	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) <_ k -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
70	69	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
71	10, 70	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
73		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
74	73	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. RR )
75	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
77		lenlt 10116	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
78	36, 76, 77	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
79	72, 78	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
80	9, 79	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
81	80	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
82	81	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
83	7, 82	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
84	8, 11	gausslemma2dlem0d 25084	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
85		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
86		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
87	85, 86	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	84, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89		fzss1 12380	. . . . 5 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
90	88, 89	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
91	90	sselda 3603	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
92		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. _V )
93	2, 83, 91, 92	fvmptd 6288	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
94	93	ralrimiva 2966	1 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  25095  gausslemma2dlem6  25097