Theorem gausslemma2dlem1 25091

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 25099. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	|- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 25082	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN )
4	3	nnnn0d 11351	. . 3 |- ( ph -> H e. NN0 )
5		fprodfac 14703	. . 3 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
7		id 22	. . 3 |- ( l = ( R ` k ) -> l = ( R ` k ) )
8		fzfid 12772	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
9		fzfi 12771	. . . 4 |- ( 1 ... H ) e. Fin
10		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( x x. 2 ) e. _V
11		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( P - ( x x. 2 ) ) e. _V
12	10, 11	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) e. _V
13		gausslemma2d.r	. . . . 5 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
14	12, 13	fnmpti 6022	. . . 4 |- R Fn ( 1 ... H )
15	1, 2, 13	gausslemma2dlem1a 25090	. . . 4 |- ( ph -> ran R = ( 1 ... H ) )
16		rneqdmfinf1o 8242	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ R Fn ( 1 ... H ) /\ ran R = ( 1 ... H ) ) -> R : ( 1 ... H ) -1-1-onto-> ( 1 ... H ) )
17	9, 14, 15, 16	mp3an12i 1428	. . 3 |- ( ph -> R : ( 1 ... H ) -1-1-onto-> ( 1 ... H ) )
18		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( R ` k ) )
19		elfzelz 12342	. . . . 5 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. ZZ )
20	19	zcnd 11483	. . . 4 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. CC )
21	20	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ l e. ( 1 ... H ) ) -> l e. CC )
22	7, 8, 17, 18, 21	fprodf1o 14676	. 2 |- ( ph -> prod_ l e. ( 1 ... H ) l = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
23	6, 22	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   !cfa 13060   prod_cprod 14635   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  25094