Theorem gsummoncoe1 19674

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	|- P = (Poly1 ` R )
gsummonply1.b	|- B = ( Base ` P )
gsummonply1.x	|- X = (var1 ` R )
gsummonply1.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
gsummonply1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
gsummonply1.k	|- K = ( Base ` R )
gsummonply1.m	|- .* = ( .s ` P )
gsummonply1.0	|- .0. = ( 0g ` R )
gsummonply1.a	|- ( ph -> A. k e. NN0 A e. K )
gsummonply1.f	|- ( ph -> ( k e. NN0 |-> A ) finSupp .0. )
gsummonply1.l	|- ( ph -> L e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1	|- ( ph -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A )

Distinct variable groups:   B, k   k, K   ph, k   .* , k   k, L   P, k   R, k   .0. , k   .^ , k

Allowed substitution hints:   A( k)   X( k)

Proof of Theorem gsummoncoe1

Dummy variables n s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.f	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN0 |-> A ) finSupp .0. )
2		gsummonply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. NN0 A e. K )
3	2	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. K )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 |-> A ) = ( k e. NN0 |-> A )
5	3, 4	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. NN0 |-> A ) : NN0 --> K )
6		gsummonply1.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` R )
7		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
8	6, 7	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- K e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. _V )
10		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
11		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( K e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( k e. NN0 |-> A ) e. ( K ^m NN0 ) <-> ( k e. NN0 |-> A ) : NN0 --> K ) )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. NN0 |-> A ) e. ( K ^m NN0 ) <-> ( k e. NN0 |-> A ) : NN0 --> K ) )
13	5, 12	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. NN0 |-> A ) e. ( K ^m NN0 ) )
14		gsummonply1.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
15		fvex 6201	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) e. _V
16	14, 15	eqeltri 2697	. . . 4 |- .0. e. _V
17		fsuppmapnn0ub 12795	. . . 4 |- ( ( ( k e. NN0 |-> A ) e. ( K ^m NN0 ) /\ .0. e. _V ) -> ( ( k e. NN0 |-> A ) finSupp .0. -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) ) )
18	13, 16, 17	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. NN0 |-> A ) finSupp .0. -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) ) )
19	1, 18	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
21	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> A. k e. NN0 A e. K )
22		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ A. k e. NN0 A e. K ) -> [_ x / k ]_ A e. K )
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> [_ x / k ]_ A e. K )
24	4	fvmpts 6285	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN0 /\ [_ x / k ]_ A e. K ) -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = [_ x / k ]_ A )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = [_ x / k ]_ A )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. <-> [_ x / k ]_ A = .0. ) )
27	26	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) <-> ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) )
28	27	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) -> ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) )
29	28	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ s e. NN0 )
31		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k NN0
32		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k s < x
33		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ A
34	33	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ A = .0.
35	32, 34	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. )
36	31, 35	nfral 2945	. . . . . . . . . 10 |- F/ k A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. )
37	30, 36	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) )
38		gsummonply1.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` P )
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
40		gsummonply1.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. Ring )
41		gsummonply1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = (Poly1 ` R )
42	41	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
43		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
44	40, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. CMnd )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> P e. CMnd )
46	40	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) -> R e. Ring )
47		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) -> A e. K )
48		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) -> k e. NN0 )
49		gsummonply1.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- X = (var1 ` R )
50		gsummonply1.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .* = ( .s ` P )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
52		gsummonply1.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
53	6, 41, 49, 50, 51, 52, 38	ply1tmcl 19642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ A e. K /\ k e. NN0 ) -> ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
54	46, 47, 48, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) -> ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
55	54	3expia 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A e. K -> ( A .* ( k .^ X ) ) e. B ) )
56	55	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. k e. NN0 A e. K -> A. k e. NN0 ( A .* ( k .^ X ) ) e. B ) )
57	2, 56	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> A. k e. NN0 ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
59		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> s e. NN0 )
60		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( s < k -> [_ k / k ]_ A = .0. )
61		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( s < x <-> s < k ) )
62		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> [_ x / k ]_ A = [_ k / k ]_ A )
63	62	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( [_ x / k ]_ A = .0. <-> [_ k / k ]_ A = .0. ) )
64	61, 63	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = k -> ( ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) <-> ( s < k -> [_ k / k ]_ A = .0. ) ) )
65	35, 60, 64	cbvral 3167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) <-> A. k e. NN0 ( s < k -> [_ k / k ]_ A = .0. ) )
66		csbid 3541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ k / k ]_ A = A
67	66	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ k / k ]_ A = .0. <-> A = .0. )
68		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = .0. -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( .0. .* ( k .^ X ) ) )
69	41	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
70	40, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
72	14, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( .0. .* ( k .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .* ( k .^ X ) ) )
75	41	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
76	40, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. LMod )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> P e. LMod )
78	51	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
79	40, 42, 78	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
80	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
81		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
83	49, 41, 82	vr1cl 19587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
84	40, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> X e. ( Base ` P ) )
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> X e. ( Base ` P ) )
86	51, 82	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
87	86, 52	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. ( Base ` P ) ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` P ) )
88	80, 81, 85, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` P ) )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
91	82, 89, 50, 90, 39	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. LMod /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
92	77, 88, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
93	74, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( .0. .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
94	68, 93	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ A = .0. ) -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) )
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( A = .0. -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
96	67, 95	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( [_ k / k ]_ A = .0. -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
97	96	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( s < k -> [_ k / k ]_ A = .0. ) -> ( s < k -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
98	97	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( A. k e. NN0 ( s < k -> [_ k / k ]_ A = .0. ) -> A. k e. NN0 ( s < k -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
99	65, 98	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) -> A. k e. NN0 ( s < k -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
100	99	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> A. k e. NN0 ( s < k -> ( A .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` P ) ) )
101	37, 38, 39, 45, 58, 59, 100	gsummptnn0fz 18382	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) = (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
103	102	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) )
104	40	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> R e. Ring )
105		gsummonply1.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. NN0 )
106	105	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> L e. NN0 )
107		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> k e. NN0 )
108		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ph )
109	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> A e. K )
110	108, 81, 109	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) )
111	107, 110	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( ph /\ k e. NN0 /\ A e. K ) )
112	111, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
113	112	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
114	113	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( A .* ( k .^ X ) ) e. B )
115		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( 0 ... s ) e. Fin )
116	41, 38, 104, 106, 114, 115	coe1fzgsumd 19672	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) ` L ) ) ) )
117	40	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> R e. Ring )
118	3	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> A e. K ) )
119	118, 107	syl11 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... s ) -> A e. K ) )
120	119	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> A e. K ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> A e. K )
122	107	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> k e. NN0 )
123	14, 6, 41, 49, 50, 51, 52	coe1tm 19643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ A e. K /\ k e. NN0 ) -> (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) = ( n e. NN0 |-> if ( n = k , A , .0. ) ) )
124	117, 121, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) = ( n e. NN0 |-> if ( n = k , A , .0. ) ) )
125		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = L -> ( n = k <-> L = k ) )
126	125	ifbid 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = L -> if ( n = k , A , .0. ) = if ( L = k , A , .0. ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) /\ n = L ) -> if ( n = k , A , .0. ) = if ( L = k , A , .0. ) )
128	105	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> L e. NN0 )
129	6, 14	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. K )
130	40, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .0. e. K )
131	130	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> .0. e. K )
132	121, 131	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( L = k , A , .0. ) e. K )
133	124, 127, 128, 132	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) ` L ) = if ( L = k , A , .0. ) )
134	37, 133	mpteq2da 4743	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) ` L ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) )
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) ` L ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) )
136		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = L -> ( s < x <-> s < L ) )
137		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = L -> [_ x / k ]_ A = [_ L / k ]_ A )
138	137	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = L -> ( [_ x / k ]_ A = .0. <-> [_ L / k ]_ A = .0. ) )
139	136, 138	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = L -> ( ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) <-> ( s < L -> [_ L / k ]_ A = .0. ) ) )
140	139	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( s < L -> [_ L / k ]_ A = .0. ) )
141		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) )
142		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k [_ L / k ]_ A
143	142	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k [_ L / k ]_ A = .0.
144	141, 143	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. )
145		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. ( 0 ... s ) <-> ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) )
146		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
147	146	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> k e. RR )
148		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( s e. NN0 -> s e. RR )
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> s e. RR )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> s e. RR )
151		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> L e. RR )
153		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. RR /\ s e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( k <_ s /\ s < L ) -> k < L ) )
154	147, 150, 152, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < L ) -> k < L ) )
155		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) /\ k < L ) -> k < L )
156	155	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) /\ k < L ) -> ( L < k \/ k < L ) )
157		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( L =/= k <-> -. L = k )
158	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> k e. RR )
159		lttri2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( L e. RR /\ k e. RR ) -> ( L =/= k <-> ( L < k \/ k < L ) ) )
160	151, 158, 159	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> ( L =/= k <-> ( L < k \/ k < L ) ) )
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) /\ k < L ) -> ( L =/= k <-> ( L < k \/ k < L ) ) )
162	157, 161	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) /\ k < L ) -> ( -. L = k <-> ( L < k \/ k < L ) ) )
163	156, 162	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) /\ k < L ) -> -. L = k )
164	163	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> ( k < L -> -. L = k ) )
165	154, 164	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ L e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < L ) -> -. L = k ) )
166	165	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( L e. NN0 -> ( k <_ s -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
167	166	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( k e. NN0 -> ( ( s e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( k <_ s -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
168	167	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( k e. NN0 -> ( k <_ s -> ( ( s e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
169	168	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( k e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( s < L -> -. L = k ) ) )
170	169	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( s < L -> -. L = k ) ) )
171	145, 170	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( s e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( s < L -> -. L = k ) ) )
172	171	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( s e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
173	105, 172	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( s e. NN0 -> ( ph -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
174	173	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s e. NN0 -> ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ph -> ( s < L -> -. L = k ) ) ) )
175	174	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( s e. NN0 -> ( s < L -> ( ph -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. L = k ) ) ) )
176	175	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( s e. NN0 /\ s < L ) -> ( ph -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. L = k ) ) )
177	176	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. L = k ) )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. L = k ) )
179	178	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> -. L = k )
180	179	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( L = k , A , .0. ) = .0. )
181	144, 180	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> .0. ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> .0. ) ) )
183		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
184	40, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R e. Mnd )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) -> R e. Mnd )
186		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 ... s ) e. _V
187	14	gsumz 17374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... s ) e. _V ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> .0. ) ) = .0. )
188	185, 186, 187	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> .0. ) ) = .0. )
189	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> .0. ) ) = .0. )
190		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [_ L / k ]_ A = .0. -> [_ L / k ]_ A = .0. )
191	190	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( [_ L / k ]_ A = .0. -> .0. = [_ L / k ]_ A )
192	191	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> .0. = [_ L / k ]_ A )
193	182, 189, 192	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) /\ [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A )
194	193	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ s < L ) ) -> ( [_ L / k ]_ A = .0. -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) )
195	194	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( s < L -> ( [_ L / k ]_ A = .0. -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) )
196	195	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < L -> [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) )
197	196	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. NN0 -> ( ( s < L -> [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) )
198	197	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s < L -> [_ L / k ]_ A = .0. ) -> ( s e. NN0 -> ( ph -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) )
199	140, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( s e. NN0 -> ( ph -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) )
200	199	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) -> ( s e. NN0 -> ( ph -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) ) )
201	200	com24 95	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. NN0 -> ( ph -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) ) )
202	105, 201	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) ) ) )
203	202	imp31 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( s < L -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) )
204	203	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( s < L -> ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) )
205		pm3.2 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < L -> ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) ) )
206	205	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( -. s < L -> ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) ) )
207	184	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) -> R e. Mnd )
208	186	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) -> ( 0 ... s ) e. _V )
209	105	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. RR )
210		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. RR /\ s e. RR ) -> ( L <_ s <-> -. s < L ) )
211	209, 148, 210	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( L <_ s <-> -. s < L ) )
212	105	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ L <_ s ) -> L e. NN0 )
213		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ L <_ s ) -> s e. NN0 )
214		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ L <_ s ) -> L <_ s )
215		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ( 0 ... s ) <-> ( L e. NN0 /\ s e. NN0 /\ L <_ s ) )
216	212, 213, 214, 215	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ L <_ s ) -> L e. ( 0 ... s ) )
217	216	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( L <_ s -> L e. ( 0 ... s ) ) )
218	211, 217	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < L -> L e. ( 0 ... s ) ) )
219	218	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) -> L e. ( 0 ... s ) )
220		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L = k <-> k = L )
221		ifbi 4107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L = k <-> k = L ) -> if ( L = k , A , .0. ) = if ( k = L , A , .0. ) )
222	220, 221	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( L = k , A , .0. ) = if ( k = L , A , .0. )
223	222	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( k = L , A , .0. ) )
224	3, 6	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. ( Base ` R ) )
225	224	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> A e. ( Base ` R ) ) )
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( k e. NN0 -> A e. ( Base ` R ) ) )
227	107, 226	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> A e. ( Base ` R ) ) )
228	227	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> A e. ( Base ` R ) )
229	228	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> A. k e. ( 0 ... s ) A e. ( Base ` R ) )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) -> A. k e. ( 0 ... s ) A e. ( Base ` R ) )
231	14, 207, 208, 219, 223, 230	gsummpt1n0 18364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ -. s < L ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A )
232	206, 231	syl6com 37	. . . . . . . 8 |- ( -. s < L -> ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A ) )
233	204, 232	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( L = k , A , .0. ) ) ) = [_ L / k ]_ A )
234	135, 233	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( A .* ( k .^ X ) ) ) ` L ) ) ) = [_ L / k ]_ A )
235	103, 116, 234	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A )
236	235	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> [_ x / k ]_ A = .0. ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A ) )
237	29, 236	syld 47	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A ) )
238	237	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( k e. NN0 |-> A ) ` x ) = .0. ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A ) )
239	19, 238	mpd 15	1 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( A .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` L ) = [_ L / k ]_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  gsumply1eq  19675  pm2mpf1lem  20599  pm2mpcoe1  20605  pm2mpmhmlem2  20624  cayleyhamilton1  20697  ply1mulgsum  42178