Theorem hlimadd 28050

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	|- ( ph -> F : NN --> ~H )
hlimadd.4	|- ( ph -> G : NN --> ~H )
hlimadd.5	|- ( ph -> F ~~>v A )
hlimadd.6	|- ( ph -> G ~~>v B )
hlimadd.7	|- H = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) +h ( G ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	|- ( ph -> H ~~>v ( A +h B ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, G   ph, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   H( n)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. = <. <. +h , .h >. , normh >.
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( normh o. -h ) = ( normh o. -h )
5	3, 4	hhims 28029	. . . . 5 |- ( normh o. -h ) = ( IndMet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
6	3, 5	hhxmet 28032	. . . 4 |- ( normh o. -h ) e. ( *Met ` ~H )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) = ( MetOpen ` ( normh o. -h ) )
8	7	mopntopon 22244	. . . 4 |- ( ( normh o. -h ) e. ( *Met ` ~H ) -> ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) e. (TopOn ` ~H ) )
9	6, 8	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) e. (TopOn ` ~H ) )
10		hlimadd.3	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ~H )
11		hlimadd.4	. . 3 |- ( ph -> G : NN --> ~H )
12		hlimadd.5	. . . 4 |- ( ph -> F ~~>v A )
13	3	hhnv 28022	. . . . . . 7 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
14		df-hba 27826	. . . . . . 7 |- ~H = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
15	3, 13, 14, 5, 7	h2hlm 27837	. . . . . 6 |- ~~>v = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) )
16		resss 5422	. . . . . 6 |- ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) ) C_ ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) )
17	15, 16	eqsstri 3635	. . . . 5 |- ~~>v C_ ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) )
18	17	ssbri 4697	. . . 4 |- ( F ~~>v A -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) A )
19	12, 18	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) A )
20		hlimadd.6	. . . 4 |- ( ph -> G ~~>v B )
21	17	ssbri 4697	. . . 4 |- ( G ~~>v B -> G ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) B )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) B )
23	3	hhva 28023	. . . . 5 |- +h = ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
24	5, 7, 23	vacn 27549	. . . 4 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> +h e. ( ( ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) tX ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) )
25	13, 24	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> +h e. ( ( ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) tX ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) )
26		hlimadd.7	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) +h ( G ` n ) ) )
27	1, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26	lmcn2 21452	. 2 |- ( ph -> H ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) ( A +h B ) )
28	10	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ~H )
29	11	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( G ` n ) e. ~H )
30		hvaddcl 27869	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. ~H /\ ( G ` n ) e. ~H ) -> ( ( F ` n ) +h ( G ` n ) ) e. ~H )
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) +h ( G ` n ) ) e. ~H )
32	31, 26	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> H : NN --> ~H )
33		ax-hilex 27856	. . . 4 |- ~H e. _V
34		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
35	33, 34	elmap 7886	. . 3 |- ( H e. ( ~H ^m NN ) <-> H : NN --> ~H )
36	32, 35	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> H e. ( ~H ^m NN ) )
37	15	breqi 4659	. . 3 |- ( H ~~>v ( A +h B ) <-> H ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) ) ( A +h B ) )
38		ovex 6678	. . . 4 |- ( A +h B ) e. _V
39	38	brres 5402	. . 3 |- ( H ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) |` ( ~H ^m NN ) ) ( A +h B ) <-> ( H ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) ( A +h B ) /\ H e. ( ~H ^m NN ) ) )
40	37, 39	bitri 264	. 2 |- ( H ~~>v ( A +h B ) <-> ( H ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( normh o. -h ) ) ) ( A +h B ) /\ H e. ( ~H ^m NN ) ) )
41	27, 36, 40	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> H ~~>v ( A +h B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   NNcn 11020   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ~~> tclm 21030   tX ctx 21363   NrmCVeccnv 27439   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   -h cmv 27782   ~~>v chli 27784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829

This theorem is referenced by:  chscllem4  28499