Theorem hoiqssbllem1 40836

Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbllem1.i	|- F/ i ph
hoiqssbllem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoiqssbllem1.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
hoiqssbllem1.y	|- ( ph -> Y e. ( RR ^m X ) )
hoiqssbllem1.c	|- ( ph -> C : X --> RR )
hoiqssbllem1.d	|- ( ph -> D : X --> RR )
hoiqssbllem1.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
hoiqssbllem1.l	|- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) )
hoiqssbllem1.r	|- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbllem1	|- ( ph -> Y e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, X   i, Y

Allowed substitution hints:   ph( i)   C( i)   D( i)   E( i)

Proof of Theorem hoiqssbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem1.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( RR ^m X ) )
2	1	elexd 3214	. . 3 |- ( ph -> Y e. _V )
3		elmapfn 7880	. . . 4 |- ( Y e. ( RR ^m X ) -> Y Fn X )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Y Fn X )
5		hoiqssbllem1.i	. . . 4 |- F/ i ph
6		hoiqssbllem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C : X --> RR )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. RR )
8	7	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. RR* )
9		hoiqssbllem1.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D : X --> RR )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. RR )
11	10	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. RR* )
12		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( RR ^m X ) -> Y : X --> RR )
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y : X --> RR )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. RR )
15	14	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. RR* )
16		hoiqssbllem1.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR+ )
17		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
19		hoiqssbllem1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X =/= (/) )
20		hoiqssbllem1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. Fin )
21		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
23	19, 22	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN )
24	23	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( # ` X ) e. RR )
25	23	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( # ` X ) )
26	24, 25	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( # ` X ) e. RR+ )
27	26	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sqr ` ( # ` X ) ) e. RR+ )
28	18, 27	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. RR+ )
29	16, 28	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR )
32	14, 31	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR )
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* )
34		hoiqssbllem1.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) )
35		iooltub 39735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( Y ` i ) e. RR* /\ ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) ) -> ( C ` i ) < ( Y ` i ) )
36	33, 15, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) < ( Y ` i ) )
37	7, 14, 36	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) <_ ( Y ` i ) )
38	14, 31	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR )
39	38	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* )
40		hoiqssbllem1.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) )
41		ioogtlb 39717	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y ` i ) e. RR* /\ ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) ) -> ( Y ` i ) < ( D ` i ) )
42	15, 39, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) < ( D ` i ) )
43	8, 11, 15, 37, 42	elicod 12224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
44	43	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. X -> ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) )
45	5, 44	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. i e. X ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
46	2, 4, 45	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( Y e. _V /\ Y Fn X /\ A. i e. X ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) )
47		elixp2 7912	. 2 |- ( Y e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) <-> ( Y e. _V /\ Y Fn X /\ A. i e. X ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) )
48	46, 47	sylibr 224	1 |- ( ph -> Y e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   #chash 13117   sqrcsqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  40838