Theorem iocopnst 22739

Description: A half-open interval ending at B is open in the closed interval from A to B. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
iocopnst.1	|- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A [,] B ) X. ( A [,] B ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iocopnst	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,) B ) -> ( C (,] B ) e. J ) )

Proof of Theorem iocopnst

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooretop 22569	. . . . 5 |- ( C (,) ( B + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
2		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v e. RR )
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v e. RR ) )
4		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> C < v )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> C < v ) )
6		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR ) -> B < ( B + 1 ) )
8		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
9		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( v <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> v < ( B + 1 ) ) )
10	9	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v e. RR /\ B e. RR ) /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( v <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> v < ( B + 1 ) ) )
11	10	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. RR /\ v e. RR ) /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( v <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> v < ( B + 1 ) ) )
12	11	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. RR /\ v e. RR ) /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( B < ( B + 1 ) /\ v <_ B ) -> v < ( B + 1 ) ) )
13	8, 12	mpidan 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( B < ( B + 1 ) /\ v <_ B ) -> v < ( B + 1 ) ) )
14	7, 13	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ v e. RR ) -> ( v <_ B -> v < ( B + 1 ) ) )
15	14	impr 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ ( v e. RR /\ v <_ B ) ) -> v < ( B + 1 ) )
16	15	3adantr2 1221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) ) -> v < ( B + 1 ) )
17	16	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v < ( B + 1 ) ) )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v < ( B + 1 ) ) )
19	3, 5, 18	3jcad 1243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) ) )
20		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
21		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
22	20, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
23	22	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) )
24		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C < v ) -> A < v ) )
25		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ v e. RR ) -> ( A < v -> A <_ v ) )
26	25	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR ) -> ( A < v -> A <_ v ) )
27	24, 26	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C < v ) -> A <_ v ) )
28	27	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR /\ C e. RR ) /\ v e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C < v ) -> A <_ v ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. RR /\ C e. RR ) /\ v e. RR ) /\ ( A <_ C /\ C < v ) ) -> A <_ v )
30	29	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. RR /\ C e. RR ) /\ A <_ C ) /\ ( v e. RR /\ C < v ) ) -> A <_ v )
31	30	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. RR /\ C e. RR ) /\ A <_ C ) /\ ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) ) -> A <_ v )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ C e. RR ) /\ A <_ C ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> A <_ v ) )
33	32	anasss 679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ ( C e. RR /\ A <_ C ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> A <_ v ) )
34	33	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> A <_ v ) )
35	34	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> A <_ v ) )
36	23, 35	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> A <_ v ) )
37		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v <_ B )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> v <_ B ) )
39	3, 36, 38	3jcad 1243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) )
40	19, 39	jcad 555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) ) )
41		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) -> v e. RR )
42		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) -> C < v )
43		simpr3 1069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) -> v <_ B )
44	41, 42, 43	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) -> ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) )
45	40, 44	impbid1 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) <-> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) ) )
46	23	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> C e. RR )
47		rexr 10085	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> C e. RR* )
49		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> B e. RR )
50		elioc2 12236	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( v e. ( C (,] B ) <-> ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) ) )
51	48, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( v e. ( C (,] B ) <-> ( v e. RR /\ C < v /\ v <_ B ) ) )
52		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) <-> ( v e. ( C (,) ( B + 1 ) ) /\ v e. ( A [,] B ) ) )
53		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B + 1 ) e. RR -> ( B + 1 ) e. RR* )
54	8, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR* )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( B + 1 ) e. RR* )
56		elioo2 12216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR* /\ ( B + 1 ) e. RR* ) -> ( v e. ( C (,) ( B + 1 ) ) <-> ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) ) )
57	48, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( v e. ( C (,) ( B + 1 ) ) <-> ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) ) )
58		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( v e. ( A [,] B ) <-> ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( v e. ( A [,] B ) <-> ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) )
60	57, 59	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( v e. ( C (,) ( B + 1 ) ) /\ v e. ( A [,] B ) ) <-> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) ) )
61	52, 60	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( v e. ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) <-> ( ( v e. RR /\ C < v /\ v < ( B + 1 ) ) /\ ( v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B ) ) ) )
62	45, 51, 61	3bitr4d 300	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( v e. ( C (,] B ) <-> v e. ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) ) )
63	62	eqrdv 2620	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( C (,] B ) = ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) )
64		ineq1 3807	. . . . . . 7 |- ( v = ( C (,) ( B + 1 ) ) -> ( v i^i ( A [,] B ) ) = ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) )
65	64	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( v = ( C (,) ( B + 1 ) ) -> ( ( C (,] B ) = ( v i^i ( A [,] B ) ) <-> ( C (,] B ) = ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) ) )
66	65	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( C (,) ( B + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( C (,] B ) = ( ( C (,) ( B + 1 ) ) i^i ( A [,] B ) ) ) -> E. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( C (,] B ) = ( v i^i ( A [,] B ) ) )
67	1, 63, 66	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> E. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( C (,] B ) = ( v i^i ( A [,] B ) ) )
68		retop 22565	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
69		ovex 6678	. . . . 5 |- ( A [,] B ) e. _V
70		elrest 16088	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,] B ) e. _V ) -> ( ( C (,] B ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) <-> E. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( C (,] B ) = ( v i^i ( A [,] B ) ) ) )
71	68, 69, 70	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( C (,] B ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) <-> E. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( C (,] B ) = ( v i^i ( A [,] B ) ) )
72	67, 71	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( C (,] B ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) )
73		iccssre 12255	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
74	73	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
75		eqid 2622	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
76		iocopnst.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A [,] B ) X. ( A [,] B ) ) ) )
77	75, 76	resubmet 22605	. . . 4 |- ( ( A [,] B ) C_ RR -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) )
78	74, 77	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) )
79	72, 78	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> ( C (,] B ) e. J )
80	79	ex 450	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,) B ) -> ( C (,] B ) e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by: (None)