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Theorem iseraltlem2 14413

Description: Lemma for iseralt 14415. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example

and

(assuming

so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4	$/\$
iseralt.5
iseralt.6	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
iseraltlem2	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem iseraltlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
2		2t0e0 11183	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7
6	5	oveq2d 6666	. . . . . 6
7	6	breq1d 4663	. . . . 5
8	7	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
9		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . 7
12	11	oveq2d 6666	. . . . . 6
13	12	breq1d 4663	. . . . 5
14	13	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
15		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . 7
18	17	oveq2d 6666	. . . . . 6
19	18	breq1d 4663	. . . . 5
20	19	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
21		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . 7
24	23	oveq2d 6666	. . . . . 6
25	24	breq1d 4663	. . . . 5
26	25	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
27		iseralt.1	. . . . . . . . . . . 12
28		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . 12
29	27, 28	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . 9 $/\$
32	31	zcnd 11483	. . . . . . . 8 $/\$
33	32	addid1d 10236	. . . . . . 7 $/\$
34	33	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$
35	34	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
36		neg1rr 11125	. . . . . . . . 9
37		neg1ne0 11126	. . . . . . . . 9
38		reexpclz 12880	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39	36, 37, 38	mp3an12 1414	. . . . . . . 8
40	31, 39	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
41		iseralt.2	. . . . . . . . 9
42		iseralt.6	. . . . . . . . . 10 $/\$
43	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
44		reexpclz 12880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
45	36, 37, 44	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47		iseralt.3	. . . . . . . . . . . 12
48	47	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	46, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	42, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$
51	27, 41, 50	serfre 12830	. . . . . . . 8
52	51	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
53	40, 52	remulcld 10070	. . . . . 6 $/\$
54	53	leidd 10594	. . . . 5 $/\$
55	35, 54	eqbrtrd 4675	. . . 4 $/\$
56	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
61	60, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
63		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
65	64	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
66		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	66, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
71	66, 57	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
73	65, 70, 72	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	59, 73	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
75		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
77		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
78	75, 76, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
79		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	62, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
81	28, 80	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
82	81	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
84	82, 83, 83	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	85, 68, 83	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
88	74, 84, 87	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
89		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
91		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	75, 90, 91	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
93		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
94	62, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
95	94, 27	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
96	88, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
97	56, 96	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
98		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . 13
99	80, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	99, 27	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
101	56, 100	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
102	97, 101	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
103		0red 10041	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
104	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
106	80, 27	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
107	105, 106	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	104, 107	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109		iseralt.4	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
115	113, 114	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12
116	115	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
117	100, 111, 116	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
118	97, 101	suble0d 10618	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
119	117, 118	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
120	102, 103, 108, 119	leadd2dd 10642	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . . 13
122	99, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
123		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . . . 14
124	80, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	122, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
128	107	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
129	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
130	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
131		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133	132, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134	131, 133	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
135	134	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
136	100, 130, 135	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
137		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
139	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
140	138, 139, 81	expp1zd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
141	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
142	141, 139, 81	reexpclzd 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
143	142	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
144		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
145	143, 137, 144	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
146	143	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
147	140, 145, 146	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
149	101	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
150		mulneg12 10468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	143, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
152	136, 148, 151	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
153	101	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
154	142, 153	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
155	152, 154	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
157		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160	158, 159	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161	157, 160	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
162	161	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
163	96, 130, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
164	81	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
165	138, 139, 164	expp1zd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
167		mul2neg 10469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
168	143, 57, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
169	143	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
170	168, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
171	165, 166, 170	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
173	163, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	142, 97	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
175	173, 174	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
176	175	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
177	128, 156, 176	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
178	126, 127, 177	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
180	104	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
181	155, 175	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
182	181	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
183	180, 128, 182	adddid 10064	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
184	180, 156, 176	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
185	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
186	153	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
187	180, 143, 186	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
188	185, 187	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
189	85, 65, 68	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
190	65	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
192	65, 65, 70	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
193	189, 191, 192	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
195		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
196	138, 139, 64, 81, 195	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
197		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
199		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
201	31, 199, 200	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
202		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
203	138, 139, 198, 201, 202	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
204		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205	204	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
206		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207	201, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
208	205, 207	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
209	203, 208	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
210	194, 196, 209	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
211	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
212	186	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
213	188, 211, 212	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
214	173	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
215	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
216	180, 143, 215	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
217	214, 216	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
218	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
219	215	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
220	217, 218, 219	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
221	213, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
222	149	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
223	222, 215	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
224	215, 149	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
225	223, 224	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
226	184, 221, 225	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
227	226	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
228	179, 183, 227	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
229	108	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
230	229	addid1d 10236	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
231	120, 228, 230	3brtr3d 4684	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
232	105, 95	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
233	104, 232	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
234	53	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
235		letr 10131	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	233, 108, 234, 235	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
237	231, 236	mpand 711	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	expcom 451	. . . . 5 $/\$
239	238	a2d 29	. . . 4 $/\$ $/\$
240	8, 14, 20, 26, 55, 239	nn0ind 11472	. . 3 $/\$
241	240	com12 32	. 2 $/\$
242	241	3impia 1261	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cseq 12801

cexp 12860

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: iseraltlem3 14414

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