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Theorem iseraltlem3 14414

Description: Lemma for iseralt 14415. From iseraltlem2 14413, we have

and

, and we also have

for each

by the definition of the partial sum

, so combining the inequalities we get

, so

and

. Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if

converges to

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4	$/\$
iseralt.5
iseralt.6	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
iseraltlem3	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem iseraltlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 11125	. . . . . . . . . 10
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
3		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . 10
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
5		iseralt.1	. . . . . . . . . . 11
6		uzssz 11707	. . . . . . . . . . 11
7	5, 6	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10
8		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
10	2, 4, 9	reexpclzd 13034	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	10	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
12		iseralt.2	. . . . . . . . . . 11
13		iseralt.6	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
15	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
17	7, 16	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
18	14, 15, 17	reexpclzd 13034	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
19		iseralt.3	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
21	18, 20	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
22	13, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23	5, 12, 22	serfre 12830	. . . . . . . . . 10
24	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	8, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
26		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12
27		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
28		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
29	26, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
30		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . 11 $/\$
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
32	31, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
33	24, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	33	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
35	24, 8	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
36	35	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37	11, 34, 36	subdid 10486	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ $/\$
39	33, 35	resubcld 10458	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$ $/\$
41	11, 40	absmuld 14193	. . . . 5 $/\$ $/\$
42	38, 41	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$ $/\$
43	2	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
44		absexpz 14045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
45	43, 4, 9, 44	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$
46		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10
47	46	absnegi 14139	. . . . . . . . 9
48		abs1 14037	. . . . . . . . 9
49	47, 48	eqtri 2644	. . . . . . . 8
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . 7
51		1exp 12889	. . . . . . . 8
52	9, 51	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
53	50, 52	syl5eq 2668	. . . . . 6 $/\$ $/\$
54	45, 53	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ $/\$
55	54	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$
56	40	abscld 14175	. . . . . 6 $/\$ $/\$
57	56	recnd 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$
58	57	mulid2d 10058	. . . 4 $/\$ $/\$
59	42, 55, 58	3eqtrd 2660	. . 3 $/\$ $/\$
60	10, 35	remulcld 10070	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61	19	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
62	5	peano2uzs 11742	. . . . . . . 8
63	62	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
64	61, 63	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	60, 64	resubcld 10458	. . . . 5 $/\$ $/\$
66	5	peano2uzs 11742	. . . . . . . 8
67	32, 66	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
68	24, 67	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	10, 68	remulcld 10070	. . . . 5 $/\$ $/\$
70	10, 33	remulcld 10070	. . . . 5 $/\$ $/\$
71		seqp1 12816	. . . . . . . . . . 11
72	25, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
73	13	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13
74	73	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
76		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
79	75, 78	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13
80	79	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12
81	63, 74, 80	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
83	43, 4, 9	expp1zd 13017	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
84		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15
85		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
86	11, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
87	11	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	83, 86, 87	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
90	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
91	11, 90	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
94	72, 82, 93	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	10, 64	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	95	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	36, 96	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	94, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	11, 36, 96	subdid 10486	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
101	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
102	101	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
104		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
107	43, 4, 105, 9, 106	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
108	103, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
109		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . 13
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
111	108, 110	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
112		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
113	43, 4, 9, 9, 112	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	111, 113, 52	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	11, 11, 90	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
117	90	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	115, 116, 117	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120	99, 100, 119	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ $/\$
121		iseralt.4	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122		iseralt.5	. . . . . . . . . . 11
123	5, 12, 19, 121, 122, 13	iseraltlem2 14413	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
124	62, 123	syl3an2 1360	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
125		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	29	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
127	101, 125, 126	add32d 10263	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
129	88, 128	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
131	124, 129, 130	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
132	68	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
133	11, 132	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
134	24, 63	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
135	134	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
136	11, 135	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
137	131, 133, 136	3brtr3d 4684	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
138	10, 134	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
139	138, 69	lenegd 10606	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
140	137, 139	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
141	120, 140	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 $/\$ $/\$
142		seqp1 12816	. . . . . . . . . 10
143	31, 142	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
146		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
147	145, 146	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
148	144, 147	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13
149	148	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12
150	67, 74, 149	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
151	7, 63	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
152	29	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
154	43, 4, 151, 152, 153	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
155	27	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
157	43, 4, 105, 155, 156	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
159		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160	155, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
161	158, 160	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
162	157, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
163	88, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
164	154, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
165	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
166	11	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
167	166	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
168	164, 165, 167	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
170	61, 67	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	170	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
172	11, 171	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
173	150, 169, 172	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
174	173	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
175	10, 170	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
176	175	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
177	34, 176	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
178	143, 174, 177	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
180	11, 34, 176	subdid 10486	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
181	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
182	11, 11, 171	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
183	171	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
184	181, 182, 183	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
186	179, 180, 185	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ $/\$
187		simp1 1061	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
188	5, 12, 19, 121, 122	iseraltlem1 14412	. . . . . . . 8 $/\$
189	187, 67, 188	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
190	70, 170	subge02d 10619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
191	189, 190	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $/\$
192	186, 191	eqbrtrd 4675	. . . . 5 $/\$ $/\$
193	65, 69, 70, 141, 192	letrd 10194	. . . 4 $/\$ $/\$
194	60, 64	readdcld 10069	. . . . 5 $/\$ $/\$
195	5, 12, 19, 121, 122, 13	iseraltlem2 14413	. . . . 5 $/\$ $/\$
196	5, 12, 19, 121, 122	iseraltlem1 14412	. . . . . . 7 $/\$
197	187, 63, 196	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
198	60, 64	addge01d 10615	. . . . . 6 $/\$ $/\$
199	197, 198	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$
200	70, 60, 194, 195, 199	letrd 10194	. . . 4 $/\$ $/\$
201	70, 60, 64	absdifled 14173	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
202	193, 200, 201	mpbir2and 957	. . 3 $/\$ $/\$
203	59, 202	eqbrtrrd 4677	. 2 $/\$ $/\$
204	11, 132, 36	subdid 10486	. . . . . 6 $/\$ $/\$
205	204	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ $/\$
206	68, 35	resubcld 10458	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
207	206	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$ $/\$
208	11, 207	absmuld 14193	. . . . 5 $/\$ $/\$
209	205, 208	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$ $/\$
210	54	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$
211	207	abscld 14175	. . . . . 6 $/\$ $/\$
212	211	recnd 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$
213	212	mulid2d 10058	. . . 4 $/\$ $/\$
214	209, 210, 213	3eqtrd 2660	. . 3 $/\$ $/\$
215	69, 70, 194, 192, 200	letrd 10194	. . . 4 $/\$ $/\$
216	69, 60, 64	absdifled 14173	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
217	141, 215, 216	mpbir2and 957	. . 3 $/\$ $/\$
218	214, 217	eqbrtrrd 4677	. 2 $/\$ $/\$
219	203, 218	jca 554	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220

This theorem is referenced by: iseralt 14415

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