Theorem limciun 23658

Description: A point is a limit of F on the finite union U_ x e. A B ( x ) iff it is the limit of the restriction of F to each B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
limciun.2	|- ( ph -> A. x e. A B C_ CC )
limciun.3	|- ( ph -> F : U_ x e. A B --> CC )
limciun.4	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
limciun	|- ( ph -> ( F lim CC C ) = ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)

Proof of Theorem limciun

Dummy variables g a k u v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . . 4 |- ( F lim CC C ) C_ CC
2		limcresi 23649	. . . . . 6 |- ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` B ) lim CC C )
3	2	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. x e. A ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` B ) lim CC C )
4		ssiin 4570	. . . . 5 |- ( ( F lim CC C ) C_ |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) <-> A. x e. A ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` B ) lim CC C ) )
5	3, 4	mpbir 221	. . . 4 |- ( F lim CC C ) C_ |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C )
6	1, 5	ssini 3836	. . 3 |- ( F lim CC C ) C_ ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( F lim CC C ) C_ ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )
8		elriin 4593	. . . 4 |- ( y e. ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) <-> ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )
9		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> y e. CC )
10		limciun.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> A e. Fin )
12		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) )
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x F
14		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
15	13, 14	nfres 5398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( F |` [_ a / x ]_ B )
16		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x lim CC
17		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x C
18	15, 16, 17	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C )
19	18	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C )
20		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
21	20	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( F |` B ) = ( F |` [_ a / x ]_ B ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( F |` B ) lim CC C ) = ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) <-> y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) ) )
24	19, 23	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. A -> ( A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) -> y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) ) )
25	12, 24	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) )
26		limciun.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : U_ x e. A B --> CC )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> F : U_ x e. A B --> CC )
28		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. A -> [_ a / x ]_ B C_ U_ a e. A [_ a / x ]_ B )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ a B
30	29, 14, 20	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ x e. A B = U_ a e. A [_ a / x ]_ B
31	28, 30	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. A -> [_ a / x ]_ B C_ U_ x e. A B )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> [_ a / x ]_ B C_ U_ x e. A B )
33	27, 32	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> ( F |` [_ a / x ]_ B ) : [_ a / x ]_ B --> CC )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
35		limciun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. A B C_ CC )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> A. x e. A B C_ CC )
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x CC
38	14, 37	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x [_ a / x ]_ B C_ CC
39	20	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( B C_ CC <-> [_ a / x ]_ B C_ CC ) )
40	38, 39	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. A -> ( A. x e. A B C_ CC -> [_ a / x ]_ B C_ CC ) )
41	34, 36, 40	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> [_ a / x ]_ B C_ CC )
42		limciun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. CC )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> C e. CC )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
45	33, 41, 43, 44	ellimc2 23641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ a e. A ) -> ( y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) <-> ( y e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> ( y e. ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) lim CC C ) <-> ( y e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
47	25, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> ( y e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) )
48	47	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
49		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> u e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
50		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> y e. u )
51		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) -> ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( y e. u -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ a e. A ) -> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> A. a e. A E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
54		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ a E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( TopOpen ` ℂfld )
56		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x C e. k
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x k
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x { C }
59	14, 58	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( [_ a / x ]_ B \ { C } )
60	57, 59	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) )
61	15, 60	nfima 5474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) )
62		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x u
63	61, 62	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u
64	56, 63	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u )
65	55, 64	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u )
66	20	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( B \ { C } ) = ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) )
67	66	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( k i^i ( B \ { C } ) ) = ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) )
68	21, 67	imaeq12d 5467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) = ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) )
69	68	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u <-> ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
70	69	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) <-> ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
71	70	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) <-> E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
72	54, 65, 71	cbvral 3167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) <-> A. a e. A E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` [_ a / x ]_ B ) " ( k i^i ( [_ a / x ]_ B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
73	53, 72	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> A. x e. A E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
74		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( g ` x ) -> ( C e. k <-> C e. ( g ` x ) ) )
75		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( g ` x ) -> ( k i^i ( B \ { C } ) ) = ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) )
76	75	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( g ` x ) -> ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) = ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) )
77	76	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( g ` x ) -> ( ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u <-> ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
78	74, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( g ` x ) -> ( ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) <-> ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
79	78	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. k e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. k /\ ( ( F |` B ) " ( k i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) -> E. g ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
80	11, 73, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> E. g ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
81	44	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
83		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) -> ran g C_ ( TopOpen ` ℂfld ) )
84	83	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ran g C_ ( TopOpen ` ℂfld ) )
85	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> A e. Fin )
86		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) -> g Fn A )
87	86	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> g Fn A )
88		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g Fn A <-> g : A -onto-> ran g )
89	87, 88	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> g : A -onto-> ran g )
90		fofi 8252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ g : A -onto-> ran g ) -> ran g e. Fin )
91	85, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ran g e. Fin )
92	44	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
93	92	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
94	93	rintopn 20714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ran g C_ ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ran g e. Fin ) -> ( CC i^i |^| ran g ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
95	82, 84, 91, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ( CC i^i |^| ran g ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
96	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> C e. CC )
97	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> C e. CC )
98		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) -> C e. ( g ` x ) )
99	98	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) -> A. x e. A C e. ( g ` x ) )
100	99	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> A. x e. A C e. ( g ` x ) )
101		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( g ` x ) -> ( C e. z <-> C e. ( g ` x ) ) )
102	101	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g Fn A -> ( A. z e. ran g C e. z <-> A. x e. A C e. ( g ` x ) ) )
103	87, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ( A. z e. ran g C e. z <-> A. x e. A C e. ( g ` x ) ) )
104	100, 103	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> A. z e. ran g C e. z )
105		elrint 4518	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( CC i^i |^| ran g ) <-> ( C e. CC /\ A. z e. ran g C e. z ) )
106	97, 104, 105	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> C e. ( CC i^i |^| ran g ) )
107		indifcom 3872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) = ( U_ x e. A B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) )
108		iunin1 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. A ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) = ( U_ x e. A B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) )
109	107, 108	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) = U_ x e. A ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) )
110	109	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) = ( F " U_ x e. A ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) )
111		imaiun 6503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " U_ x e. A ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) = U_ x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) )
112	110, 111	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) = U_ x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) )
113		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC i^i |^| ran g ) C_ |^| ran g
114		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( g Fn A /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ran g )
115	86, 114	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ran g )
116		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g ` x ) e. ran g -> |^| ran g C_ ( g ` x ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> |^| ran g C_ ( g ` x ) )
118	113, 117	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( CC i^i |^| ran g ) C_ ( g ` x ) )
119	118	ssdifd 3746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) C_ ( ( g ` x ) \ { C } ) )
120		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) C_ ( ( g ` x ) \ { C } ) -> ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) C_ ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) )
121		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) C_ ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ ( F " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) ) )
122	119, 120, 121	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ ( F " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) ) )
123		indifcom 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) = ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) )
124	123	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) = ( ( F |` B ) " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) )
125		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) C_ B
126		resima2 5432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) C_ B -> ( ( F |` B ) " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) ) = ( F " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) ) )
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` B ) " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) ) = ( F " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) )
128	124, 127	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) = ( F " ( B i^i ( ( g ` x ) \ { C } ) ) )
129	122, 128	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) )
130		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) -> ( ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u ) )
132	131	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ x e. A ) -> ( ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) -> ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u ) )
133	132	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) -> A. x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u ) )
134	133	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) -> A. x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> A. x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u )
136		iunss 4561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u <-> A. x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u )
137	135, 136	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> U_ x e. A ( F " ( B i^i ( ( CC i^i |^| ran g ) \ { C } ) ) ) C_ u )
138	112, 137	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u )
139		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( CC i^i |^| ran g ) -> ( C e. v <-> C e. ( CC i^i |^| ran g ) ) )
140		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( CC i^i |^| ran g ) -> ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) = ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) )
141	140	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( CC i^i |^| ran g ) -> ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) = ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) )
142	141	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( CC i^i |^| ran g ) -> ( ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
143	139, 142	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( CC i^i |^| ran g ) -> ( ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) <-> ( C e. ( CC i^i |^| ran g ) /\ ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
144	143	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( CC i^i |^| ran g ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( C e. ( CC i^i |^| ran g ) /\ ( F " ( ( CC i^i |^| ran g ) i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
145	95, 106, 138, 144	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) /\ ( g : A --> ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A. x e. A ( C e. ( g ` x ) /\ ( ( F |` B ) " ( ( g ` x ) i^i ( B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
146	80, 145	exlimddv 1863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ y e. u ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) )
147	146	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( y e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
148	147	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) )
149	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> F : U_ x e. A B --> CC )
150		iunss 4561	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A B C_ CC <-> A. x e. A B C_ CC )
151	35, 150	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ x e. A B C_ CC )
152	151	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> U_ x e. A B C_ CC )
153	149, 152, 96, 44	ellimc2 23641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> ( y e. ( F lim CC C ) <-> ( y e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( y e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. v /\ ( F " ( v i^i ( U_ x e. A B \ { C } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
154	9, 148, 153	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) -> y e. ( F lim CC C ) )
155	154	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. CC /\ A. x e. A y e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> y e. ( F lim CC C ) ) )
156	8, 155	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> y e. ( F lim CC C ) ) )
157	156	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) C_ ( F lim CC C ) )
158	7, 157	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( F lim CC C ) = ( CC i^i |^|_ x e. A ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limcun  23659