Theorem limcleqr 39876

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcleqr.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcleqr.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limcleqr.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
limcleqr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcleqr.b	|- ( ph -> B e. RR )
limcleqr.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
limcleqr.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
limcleqr.leqr	|- ( ph -> L = R )

Assertion

Ref	Expression
limcleqr	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcleqr

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . 3 |- ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) C_ CC
2		limcleqr.l	. . 3 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> L e. CC )
4		simp-4r 807	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> a e. RR+ )
5		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> b e. RR+ )
6	4, 5	ifcld 4131	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
7		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ x e. RR+ )
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z a e. RR+
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ )
10		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
11	9, 10	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
12		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ z b e. RR+
13	11, 12	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ )
14		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
16		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> ph )
17	16	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ph )
18		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. A )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z < B )
20		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo e. RR* )
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> B e. RR* )
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
26	25	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
27	26	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. RR )
28	27	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo < z )
29		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z < B )
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
32		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
34	33	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
37		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
38	37	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
39	18, 31	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) )
40	38, 39	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) )
41		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z =/= B )
42	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
43	42	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
44	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
45	44	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
46		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
47		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ph )
48		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> z e. A )
49	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
50	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. CC )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. CC )
52	49, 51	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z - B ) e. CC )
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
54	47, 48, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
55		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. RR+ -> a e. RR )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
57		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. RR+ -> b e. RR )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
59	56, 58	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
62	56	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> a e. RR )
64		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
65	58	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
66		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
67	62, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
71	41, 70	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) )
72		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
73	40, 71, 72	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
74	36, 73	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
75		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B e. RR )
78		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. A )
79	76, 78, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. RR )
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= B -> z =/= B )
81	80	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z =/= B -> B =/= z )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
83	82	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> -. z < B )
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 39513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B < z )
86		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> ph )
87	86	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ph )
88		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. A )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> B < z )
90	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B e. RR* )
91		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> +oo e. RR* )
93	26	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. RR )
94		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B < z )
95	93	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z < +oo )
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
98		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) )
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
103		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
104	88, 97	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) )
105	103, 104	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) )
106		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z =/= B )
107	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
108	107	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
109	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
110	109	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
111		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
112	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> b e. RR )
113		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
114	62, 65, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
116	54, 61, 112, 64, 115	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
117	87, 108, 110, 111, 88, 116	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
118	106, 117	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) )
119		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
120	105, 118, 119	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
121	102, 120	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
122	85, 121	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
123	74, 122	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
124	123	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
125	15, 124	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
126		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
127	126	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) <-> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
128	127	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
130	129	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
131	6, 125, 130	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
132		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
133		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> CC )
134		fresin 6073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
136		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ ( B (,) +oo )
137		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) +oo ) C_ CC
138	136, 137	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC )
140	135, 139, 50	ellimc3 23643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) <-> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) ) )
141	132, 140	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
142	141	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
143	142	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
144		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L = R )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) )
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) )
147	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
148	147	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
149	148	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
150	149	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
151	143, 150	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
152	151	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
153	131, 152	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
154		fresin 6073	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
155	133, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
156		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ ( -oo (,) B )
157		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) B ) C_ RR
158	156, 157	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ RR
159		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
160	159	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
161	158, 160	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ CC )
162	155, 161, 50	ellimc3 23643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
163	2, 162	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) )
164	163	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
165	164	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
166	153, 165	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
167	166	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
168	25, 159	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
169	133, 168, 50	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
170	3, 167, 169	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limclr  39887