Theorem ellimc3 23643

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
ellimc3	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		ellimc3.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
3		ellimc3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 23641	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
6		cnxmet 22576	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
8		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
9		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10		blcntr 22218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
12		rpxr 11840	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
14	4	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
15	14	blopn 22305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR* ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
16	7, 8, 13, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
17		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u <-> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
18		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
21	17, 20	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
22	21	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
23	16, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
24	11, 23	mpid 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
25	14	mopni2 22298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
26	6, 25	mp3an1 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
27		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) )
28		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) )
29		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
30	27, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
32	31	reximdv 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
33	26, 32	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
34	33	impr 649	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
35	34	rexlimiva 3028	. . . . . . 7 |- ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
36	24, 35	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
37	36	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
38	14	mopni2 22298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
39	6, 38	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
40		r19.29r 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
41	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
42	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. CC )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
44	43	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR* )
45	14	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
46	41, 42, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
47		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
48	41, 42, 43, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
49		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( B e. v <-> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
50		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( v i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) )
51	50	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) = ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) )
52	51	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
53	49, 52	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
55	54	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
56	46, 48, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
57	56	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
58		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
59	58	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
60	59	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
61	60	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	syl9 77	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
63	62	impd 447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	63	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
65	40, 64	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
66	65	expd 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
67	39, 66	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
68	67	expdimp 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( C e. u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
69	68	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
70	69	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
71	37, 70	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
72	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> F : A --> CC )
73		ffun 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> Fun F )
75		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
76		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { B } ) C_ A
77		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> dom F = A )
79	76, 78	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ dom F )
80	75, 79	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
81		funimass4 6247	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
82	74, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
84		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR+ )
85	84	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR* )
86	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
87	76, 2	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
89	88	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. CC )
90		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. RR* ) /\ ( B e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
91	83, 85, 86, 89, 90	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
93	92	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
94	89, 86, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
95	94	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z ( abs o. - ) B ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
96	91, 95	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
97		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR+ )
98	97	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR* )
99		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> C e. CC )
100		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. A )
101		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
102	72, 100, 101	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
103		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. RR* ) /\ ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
104	83, 98, 99, 102, 103	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
105	92	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
106	102, 99, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
107	106	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
108	104, 107	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
109	96, 108	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
110	109	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
111		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) )
112		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
113	111, 112	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
114	113	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
115		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
116	114, 115	bitr2i 265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) <-> ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
117	116	ralbii2 2978	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
118		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
119		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
120	119	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
121		impexp 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
122	121	imbi2i 326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
123	118, 120, 122	3bitr4i 292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
124	123	ralbii2 2978	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
125	110, 117, 124	3bitr3g 302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
126	82, 125	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
127	126	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
128	127	rexbidva 3049	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
130	71, 129	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
131	130	pm5.32da 673	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
132	5, 131	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  dveflem  23742  dvferm1  23748  dvferm2  23750  lhop1  23777  ftc1lem6  23804  ulmdvlem3  24156  unblimceq0  32498  ftc1cnnc  33484  mullimc  39848  ellimcabssub0  39849  limcdm0  39850  mullimcf  39855  constlimc  39856  idlimc  39858  limcperiod  39860  limcrecl  39861  limcleqr  39876  neglimc  39879  addlimc  39880  0ellimcdiv  39881  limclner  39883  fperdvper  40133  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149