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Theorem lhop 23779
Description: L'Hôpital's Rule. If I is an open set of the reals, F and G are real functions on A containing all of I except possibly B, which are differentiable everywhere on I \ { B }, F and G both approach 0, and the limit of F' ( x ) / G' ( x ) at B is C, then the limit F ( x ) / G ( x ) at B also exists and equals C. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop.a |- ( ph -> A C_ RR )
lhop.f |- ( ph -> F : A --> RR )
lhop.g |- ( ph -> G : A --> RR )
lhop.i |- ( ph -> I e. ( topGen ` ran (,) ) )
lhop.b |- ( ph -> B e. I )
lhop.d |- D = ( I \ { B } )
lhop.if |- ( ph -> D C_ dom ( RR _D F ) )
lhop.ig |- ( ph -> D C_ dom ( RR _D G ) )
lhop.f0 |- ( ph -> 0 e. ( F lim CC B ) )
lhop.g0 |- ( ph -> 0 e. ( G lim CC B ) )
lhop.gn0 |- ( ph -> -. 0 e. ( G " D ) )
lhop.gd0 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( RR _D G ) " D ) )
lhop.c |- ( ph -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
Assertion
Ref Expression
lhop |- ( ph -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
Distinct variable groups:   z, B   z, C   z, D   z, F   ph, z   z, G   z, I
Allowed substitution hint:   A( z)
Proof of Theorem lhop
Dummy variable r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
21rexmet 22594 . . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
32a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) )
4 lhop.i . . 3 |- ( ph -> I e. ( topGen ` ran (,) ) )
5 lhop.b . . 3 |- ( ph -> B e. I )
6 eqid 2622 . . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
71, 6tgioo 22599 . . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
87mopni2 22298 . . 3 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ I e. ( topGen ` ran (,) ) /\ B e. I ) -> E. r e. RR+ ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ I )
93, 4, 5, 8syl3anc 1326 . 2 |- ( ph -> E. r e. RR+ ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ I )
10 elssuni 4467 . . . . . . . . 9 |- ( I e. ( topGen ` ran (,) ) -> I C_ U. ( topGen ` ran (,) ) )
11 uniretop 22566 . . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
1210, 11syl6sseqr 3652 . . . . . . . 8 |- ( I e. ( topGen ` ran (,) ) -> I C_ RR )
134, 12syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> I C_ RR )
1413, 5sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
15 rpre 11839 . . . . . 6 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
161bl2ioo 22595 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ r e. RR ) -> ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
1714, 15, 16syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
1817sseq1d 3632 . . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ I <-> ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) )
1914adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B e. RR )
20 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> r e. RR+ )
2120rpred 11872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> r e. RR )
2219, 21resubcld 10458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B - r ) e. RR )
2322rexrd 10089 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B - r ) e. RR* )
2419, 20ltsubrpd 11904 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B - r ) < B )
25 lhop.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> RR )
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> F : A --> RR )
27 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B - r ) (,) B ) C_ ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) )
28 unass 3770 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { B } u. ( ( B - r ) (,) B ) ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( { B } u. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) )
29 uncom 3757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { B } u. ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( ( B - r ) (,) B ) u. { B } )
3029uneq1i 3763 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { B } u. ( ( B - r ) (,) B ) ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) ( B + r ) ) )
3128, 30eqtr3i 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } u. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) ( B + r ) ) )
3219rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B e. RR* )
3319, 21readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B + r ) e. RR )
3433rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B + r ) e. RR* )
3519, 20ltaddrpd 11905 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B < ( B + r ) )
36 ioojoin 12303 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B - r ) e. RR* /\ B e. RR* /\ ( B + r ) e. RR* ) /\ ( ( B - r ) < B /\ B < ( B + r ) ) ) -> ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
3723, 32, 34, 24, 35, 36syl32anc 1334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
3831, 37syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( { B } u. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
39 elioo2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B - r ) e. RR* /\ ( B + r ) e. RR* ) -> ( B e. ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) <-> ( B e. RR /\ ( B - r ) < B /\ B < ( B + r ) ) ) )
4023, 34, 39syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B e. ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) <-> ( B e. RR /\ ( B - r ) < B /\ B < ( B + r ) ) ) )
4119, 24, 35, 40mpbir3and 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B e. ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
4241snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> { B } C_ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
43 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { B } i^i ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) i^i { B } )
44 ubioo 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. B e. ( ( B - r ) (,) B )
45 lbioo 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. B e. ( B (,) ( B + r ) )
4644, 45pm3.2ni 899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. ( B e. ( ( B - r ) (,) B ) \/ B e. ( B (,) ( B + r ) ) )
47 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) <-> ( B e. ( ( B - r ) (,) B ) \/ B e. ( B (,) ( B + r ) ) ) )
4846, 47mtbir 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B e. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) )
49 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) )
5048, 49mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) i^i { B } ) = (/)
5143, 50eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } i^i ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = (/)
52 uneqdifeq 4057 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { B } C_ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) /\ ( { B } i^i ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( { B } u. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) <-> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) = ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
5342, 51, 52sylancl 694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( { B } u. ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) <-> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) = ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
5438, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) = ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) )
5527, 54syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) )
56 ssdif 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) C_ ( I \ { B } ) )
5756ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) C_ ( I \ { B } ) )
58 lhop.d . . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( I \ { B } )
5957, 58syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) C_ D )
60 lhop.if . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D C_ dom ( RR _D F ) )
61 ax-resscn 9993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR C_ CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> RR C_ CC )
63 fss 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : A --> CC )
6425, 61, 63sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : A --> CC )
65 lhop.a . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
6662, 64, 65dvbss 23665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) C_ A )
6760, 66sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ A )
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> D C_ A )
6959, 68sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) C_ A )
7055, 69sstrd 3613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ A )
7126, 70fssresd 6071 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) : ( ( B - r ) (,) B ) --> RR )
72 lhop.g . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : A --> RR )
7372adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> G : A --> RR )
7473, 70fssresd 6071 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) : ( ( B - r ) (,) B ) --> RR )
7561a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> RR C_ CC )
7664adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> F : A --> CC )
7765adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> A C_ RR )
78 ioossre 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B - r ) (,) B ) C_ RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ RR )
80 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
8180tgioo2 22606 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
8280, 81dvres 23675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : A --> CC ) /\ ( A C_ RR /\ ( ( B - r ) (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) )
8375, 76, 77, 79, 82syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) )
84 retop 22565 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
85 iooretop 22569 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B - r ) (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
86 isopn3i 20886 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( B - r ) (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
8784, 85, 86mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B )
8887reseq2i 5393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) )
8983, 88syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
9089dmeqd 5326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
9155, 59sstrd 3613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ D )
9260adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> D C_ dom ( RR _D F ) )
9391, 92sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) )
94 ssdmres 5420 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B - r ) (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
9593, 94sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
9690, 95eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
97 fss 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> G : A --> CC )
9872, 61, 97sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : A --> CC )
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> G : A --> CC )
10080, 81dvres 23675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : A --> CC ) /\ ( A C_ RR /\ ( ( B - r ) (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) )
10175, 99, 77, 79, 100syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) )
10287reseq2i 5393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) )
103101, 102syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
104103dmeqd 5326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = dom ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
105 lhop.ig . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ dom ( RR _D G ) )
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> D C_ dom ( RR _D G ) )
10791, 106sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ dom ( RR _D G ) )
108 ssdmres 5420 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B - r ) (,) B ) C_ dom ( RR _D G ) <-> dom ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
109107, 108sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
110104, 109eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( B - r ) (,) B ) )
111 limcresi 23649 . . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B )
112 lhop.f0 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( F lim CC B ) )
113112adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( F lim CC B ) )
114111, 113sseldi 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) )
115 limcresi 23649 . . . . . . . . . 10 |- ( G lim CC B ) C_ ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B )
116 lhop.g0 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( G lim CC B ) )
117116adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( G lim CC B ) )
118115, 117sseldi 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) )
119 df-ima 5127 . . . . . . . . . . 11 |- ( G " ( ( B - r ) (,) B ) ) = ran ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) )
120 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B - r ) (,) B ) C_ D -> ( G " ( ( B - r ) (,) B ) ) C_ ( G " D ) )
12191, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( G " ( ( B - r ) (,) B ) ) C_ ( G " D ) )
122119, 121syl5eqssr 3650 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) C_ ( G " D ) )
123 lhop.gn0 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 0 e. ( G " D ) )
124123adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ( G " D ) )
125122, 124ssneldd 3606 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ran ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
126103rneqd 5353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ran ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) )
127 df-ima 5127 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D G ) " ( ( B - r ) (,) B ) ) = ran ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) )
128126, 127syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) = ( ( RR _D G ) " ( ( B - r ) (,) B ) ) )
129 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B - r ) (,) B ) C_ D -> ( ( RR _D G ) " ( ( B - r ) (,) B ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D G ) " ( ( B - r ) (,) B ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
131128, 130eqsstrd 3639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
132 lhop.gd0 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( RR _D G ) " D ) )
133132adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ( ( RR _D G ) " D ) )
134131, 133ssneldd 3606 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) )
135 limcresi 23649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B )
13691resmptd 5452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) )
13789fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) )
138 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` z ) )
139137, 138sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( ( B - r ) (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` z ) )
140103fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) = ( ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) )
141 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) -> ( ( ( RR _D G ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) = ( ( RR _D G ) ` z ) )
142140, 141sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( ( B - r ) (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D G ) ` z ) )
143139, 142oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( ( B - r ) (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) )
144143mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) )
145136, 144eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) ) )
146145oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
147135, 146syl5sseq 3653 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
148 lhop.c . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
149148adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
150147, 149sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
15123, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150lhop2 23778 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) / ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
15255resmptd 5452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) )
153 fvres 6207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) -> ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
154 fvres 6207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) -> ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) = ( G ` z ) )
155153, 154oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) -> ( ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) / ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) ) = ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
156155mpteq2ia 4740 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) / ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
157152, 156syl6eqr 2674 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) = ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) / ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) ) ) )
158157oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( ( B - r ) (,) B ) |-> ( ( ( F |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) / ( ( G |` ( ( B - r ) (,) B ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
159151, 158eleqtrrd 2704 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) )
160 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B (,) ( B + r ) ) C_ ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) )
161160, 54syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) )
162161, 69sstrd 3613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ A )
16326, 162fssresd 6071 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) : ( B (,) ( B + r ) ) --> RR )
16473, 162fssresd 6071 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) : ( B (,) ( B + r ) ) --> RR )
165 ioossre 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B (,) ( B + r ) ) C_ RR
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ RR )
16780, 81dvres 23675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : A --> CC ) /\ ( A C_ RR /\ ( B (,) ( B + r ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
16875, 76, 77, 166, 167syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
169 iooretop 22569 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
170 isopn3i 20886 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( B (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
17184, 169, 170mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) )
172171reseq2i 5393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) )
173168, 172syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
174173dmeqd 5326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
175161, 59sstrd 3613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ D )
176175, 92sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
177 ssdmres 5420 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B (,) ( B + r ) ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
178176, 177sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
179174, 178eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
18080, 81dvres 23675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : A --> CC ) /\ ( A C_ RR /\ ( B (,) ( B + r ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
18175, 99, 77, 166, 180syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
182171reseq2i 5393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) )
183181, 182syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
184183dmeqd 5326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = dom ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
185175, 106sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ dom ( RR _D G ) )
186 ssdmres 5420 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B (,) ( B + r ) ) C_ dom ( RR _D G ) <-> dom ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
187185, 186sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
188184, 187eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( B (,) ( B + r ) ) )
189 limcresi 23649 . . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B )
190189, 113sseldi 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) )
191 limcresi 23649 . . . . . . . . . 10 |- ( G lim CC B ) C_ ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B )
192191, 117sseldi 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> 0 e. ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) )
193 df-ima 5127 . . . . . . . . . . 11 |- ( G " ( B (,) ( B + r ) ) ) = ran ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) )
194 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B (,) ( B + r ) ) C_ D -> ( G " ( B (,) ( B + r ) ) ) C_ ( G " D ) )
195175, 194syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( G " ( B (,) ( B + r ) ) ) C_ ( G " D ) )
196193, 195syl5eqssr 3650 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) C_ ( G " D ) )
197196, 124ssneldd 3606 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ran ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
198183rneqd 5353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ran ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) )
199 df-ima 5127 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D G ) " ( B (,) ( B + r ) ) ) = ran ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) )
200198, 199syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) = ( ( RR _D G ) " ( B (,) ( B + r ) ) ) )
201 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B (,) ( B + r ) ) C_ D -> ( ( RR _D G ) " ( B (,) ( B + r ) ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
202175, 201syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D G ) " ( B (,) ( B + r ) ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
203200, 202eqsstrd 3639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ran ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) C_ ( ( RR _D G ) " D ) )
204203, 133ssneldd 3606 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) )
205 limcresi 23649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B )
206175resmptd 5452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) )
207173fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) )
208 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` z ) )
209207, 208sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( B (,) ( B + r ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` z ) )
210183fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) = ( ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) )
211 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) -> ( ( ( RR _D G ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D G ) ` z ) )
212210, 211sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( B (,) ( B + r ) ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) = ( ( RR _D G ) ` z ) )
213209, 212oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( B (,) ( B + r ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) )
214213mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) )
215206, 214eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) ) )
216215oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
217205, 216syl5sseq 3653 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
218217, 149sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) / ( ( RR _D ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
21919, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218lhop1 23777 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) / ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
220161resmptd 5452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) )
221 fvres 6207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) -> ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
222 fvres 6207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) -> ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) = ( G ` z ) )
223221, 222oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) -> ( ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) / ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) ) = ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
224223mpteq2ia 4740 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) / ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
225220, 224syl6eqr 2674 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) = ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) / ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) ) ) )
226225oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( B (,) ( B + r ) ) |-> ( ( ( F |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) / ( ( G |` ( B (,) ( B + r ) ) ) ` z ) ) ) lim CC B ) )
227219, 226eleqtrrd 2704 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) )
228159, 227elind 3798 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) i^i ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) ) )
22959resmptd 5452 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) ) = ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) )
230229oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
23167sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. A )
23225ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
233231, 232syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( F ` z ) e. RR )
234233recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( F ` z ) e. CC )
23572ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. RR )
236231, 235syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( G ` z ) e. RR )
237236recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( G ` z ) e. CC )
238123adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> -. 0 e. ( G " D ) )
239 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : A --> RR -> G Fn A )
24072, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G Fn A )
241240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> G Fn A )
24267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D C_ A )
243 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
244 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn A /\ D C_ A /\ z e. D ) -> ( G ` z ) e. ( G " D ) )
245241, 242, 243, 244syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( G ` z ) e. ( G " D ) )
246 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` z ) = 0 -> ( ( G ` z ) e. ( G " D ) <-> 0 e. ( G " D ) ) )
247245, 246syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( G ` z ) = 0 -> 0 e. ( G " D ) ) )
248247necon3bd 2808 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( -. 0 e. ( G " D ) -> ( G ` z ) =/= 0 ) )
249238, 248mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( G ` z ) =/= 0 )
250234, 237, 249divcld 10801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) e. CC )
251250adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. D ) -> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) e. CC )
252 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) = ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
253251, 252fmptd 6385 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : D --> CC )
254 difss 3737 . . . . . . . . . . 11 |- ( I \ { B } ) C_ I
25558, 254eqsstri 3635 . . . . . . . . . 10 |- D C_ I
25613, 61syl6ss 3615 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I C_ CC )
257255, 256syl5ss 3614 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> D C_ CC )
258257adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> D C_ CC )
259 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) )
26058uneq1i 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D u. { B } ) = ( ( I \ { B } ) u. { B } )
261 undif1 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I \ { B } ) u. { B } ) = ( I u. { B } )
262260, 261eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D u. { B } ) = ( I u. { B } )
263 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I )
26442, 263sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> { B } C_ I )
265 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { B } C_ I <-> ( I u. { B } ) = I )
266264, 265sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( I u. { B } ) = I )
267262, 266syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( D u. { B } ) = I )
268267oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) )
26913adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> I C_ RR )
270 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
27180, 270rerest 22607 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I C_ RR -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) )
272269, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) )
273268, 272eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) )
274273fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) = ( int ` ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) ) )
275274fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) = ( ( int ` ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) )
27680cnfldtopon 22586 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
277256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> I C_ CC )
278 resttopon 20965 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ I C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
279276, 277, 278sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
280 topontop 20718 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) e. (TopOn ` I ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) e. Top )
281279, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t I ) e. Top )
282272, 281eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) e. Top )
283 iooretop 22569 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
284283a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
2854adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> I e. ( topGen ` ran (,) ) )
286 restopn2 20981 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ I e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) <-> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) )
28784, 285, 286sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) <-> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) )
288284, 263, 287mpbir2and 957 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) )
289 isopn3i 20886 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) e. Top /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) ) -> ( ( int ` ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
290282, 288, 289syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( int ` ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t I ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
291275, 290eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
29241, 291eleqtrrd 2704 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) )
293 undif1 4043 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) u. { B } ) = ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) u. { B } )
294 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { B } C_ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) <-> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) u. { B } ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
29542, 294sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) u. { B } ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
296293, 295syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) u. { B } ) = ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) )
297296fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) ) )
298292, 297eleqtrrd 2704 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( D u. { B } ) ) ) ` ( ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) u. { B } ) ) )
299253, 59, 258, 80, 259, 298limcres 23650 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) ) lim CC B ) = ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
30078, 61sstri 3612 . . . . . . . . 9 |- ( ( B - r ) (,) B ) C_ CC
301300a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( B - r ) (,) B ) C_ CC )
302165, 61sstri 3612 . . . . . . . . 9 |- ( B (,) ( B + r ) ) C_ CC
303302a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( B (,) ( B + r ) ) C_ CC )
30459sselda 3603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) ) -> z e. D )
305304, 251syldan 487 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) /\ z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) e. CC )
306 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
307305, 306fmptd 6385 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) --> CC )
30854feq2d 6031 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) --> CC <-> ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) --> CC ) )
309307, 308mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : ( ( ( B - r ) (,) B ) u. ( B (,) ( B + r ) ) ) --> CC )
310301, 303, 309limcun 23659 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) i^i ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) ) )
311230, 299, 3103eqtr3rd 2665 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> ( ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( ( B - r ) (,) B ) ) lim CC B ) i^i ( ( ( z e. ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) |` ( B (,) ( B + r ) ) ) lim CC B ) ) = ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
312228, 311eleqtrd 2703 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I ) ) -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
313312expr 643 . . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( B - r ) (,) ( B + r ) ) C_ I -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) ) )
31418, 313sylbid 230 . . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ I -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) ) )
315314rexlimdva 3031 . 2 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ ( B ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ I -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) ) )
3169, 315mpd 15 1 |- ( ph -> C e. ( ( z e. D |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  ℂfldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631
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