Theorem liminflimsupclim 40039

Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 40017). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupclim.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
liminflimsupclim.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
liminflimsupclim.3	|- ( ph -> F : Z --> RR )
liminflimsupclim.4	|- ( ph -> (liminf ` F ) e. RR )
liminflimsupclim.5	|- ( ph -> ( limsup ` F ) <_ (liminf ` F ) )

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupclim	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Proof of Theorem liminflimsupclim

Dummy variables x k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 14223	. . 3 |- Rel ~~>
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Rel ~~> )
3		liminflimsupclim.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z --> RR )
4		liminflimsupclim.2	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	4	fvexi 6202	. . . . . . . . . 10 |- Z e. _V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. _V )
7	3, 6	fexd 39296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
8	7	limsupcld 39922	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* )
9		liminflimsupclim.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (liminf ` F ) e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> (liminf ` F ) e. RR* )
11		liminflimsupclim.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( limsup ` F ) <_ (liminf ` F ) )
12		liminflimsupclim.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	3	frexr 39604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
14	12, 4, 13	liminflelimsupuz 40017	. . . . . . 7 |- ( ph -> (liminf ` F ) <_ ( limsup ` F ) )
15	8, 10, 11, 14	xrletrid 11986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( limsup ` F ) = (liminf ` F ) )
16	15, 9	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. CC )
18		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k F
19	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
20	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> RR )
21	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> (liminf ` F ) e. RR )
22		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
23	18, 19, 4, 20, 21, 22	liminflt 40037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) )
24	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> (liminf ` F ) e. RR )
25	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> RR )
26	4	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
27	26	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
28	25, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
29	28	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
30	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR+ )
31		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
33	24, 29, 32	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x <-> (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) ) )
34	33	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) <-> ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x ) )
35	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
36	15	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (liminf ` F ) = ( limsup ` F ) )
37	36, 17	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> (liminf ` F ) e. CC )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> (liminf ` F ) e. CC )
39	35, 38	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) = ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) )
40	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) < x <-> ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x ) )
41	40	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) < x <-> ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x ) )
42	41	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x <-> -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) < x ) )
43	29, 24	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) e. RR )
44		ltnegcon1 10529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) < x <-> -u x < ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) ) )
45	43, 32, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( -u ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) < x <-> -u x < ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) ) )
46	42, 45	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( (liminf ` F ) - ( F ` k ) ) < x <-> -u x < ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) ) )
47	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) = ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u x < ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) <-> -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) )
49	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( -u x < ( ( F ` k ) - (liminf ` F ) ) <-> -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) )
50	34, 46, 49	3bitrd 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) <-> -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) )
51	50	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) )
52	51	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) (liminf ` F ) < ( ( F ` k ) + x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) )
53	23, 52	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) )
54	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
55	18, 19, 4, 20, 54, 22	limsupgt 40010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - x ) < ( limsup ` F ) )
56	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
57		ltsub23 10508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ x e. RR /\ ( limsup ` F ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) - x ) < ( limsup ` F ) <-> ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
58	29, 32, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) - x ) < ( limsup ` F ) <-> ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
59	58	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - x ) < ( limsup ` F ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
60	59	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - x ) < ( limsup ` F ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
61	55, 60	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x )
62	53, 61	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
63	4	rexanuz2 14089	. . . . . . 7 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
64	62, 63	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
65		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
66		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR+ )
67	26	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
68		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) -> ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) )
69	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
70	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
71	69, 70	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) e. RR )
72	71	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) e. RR )
73	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> x e. RR )
74		abslt 14054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x <-> ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x <-> ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x <-> ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) )
77	68, 76	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x )
78	77	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) )
79	65, 66, 67, 78	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) )
80	79	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) )
81	80	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( -u x < ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) /\ ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) )
82	64, 81	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x )
83	82	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x )
84	17, 83	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) )
85		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
86	85	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR C_ CC )
87	3, 86	fssd 6057	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
88	18, 12, 4, 87	climuz 39976	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> ( limsup ` F ) <-> ( ( limsup ` F ) e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < x ) ) )
89	84, 88	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( limsup ` F ) )
90		releldm 5358	. 2 |- ( ( Rel ~~> /\ F ~~> ( limsup ` F ) ) -> F e. dom ~~> )
91	2, 89, 90	syl2anc 693	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215  liminfclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  climliminflimsup  40040  climliminflimsup2  40041