Theorem fourierdlem19 40343

Description: If two elements of D have the same periodic image in ( A (,] B ) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem19.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem19.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem19.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem19.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem19.d	|- D = { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }
fourierdlem19.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem19.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem19.w	|- ( ph -> W e. D )
fourierdlem19.z	|- ( ph -> Z e. D )
fourierdlem19.ezew	|- ( ph -> ( E ` Z ) = ( E ` W ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem19	|- ( ph -> -. W < Z )

Distinct variable groups:   x, k   x, A   y, A   x, B   y, B   x, T   x, W   y, X   x, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y, k)   A( k)   B( k)   C( x, y, k)   D( x, y, k)   T( y, k)   E( x, y, k)   W( y, k)   X( x, k)   Z( y, k)

Proof of Theorem fourierdlem19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem19.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem19.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3	1, 2	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
4	3	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
5		fourierdlem19.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	5, 2	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
7	6	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
8		fourierdlem19.d	. . . . . 6 |- D = { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }
9		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( ( A + X ) (,] ( B + X ) )
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . . 5 |- D C_ ( ( A + X ) (,] ( B + X ) )
11		fourierdlem19.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. D )
12	10, 11	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
13		iocleub 39725	. . . 4 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR* /\ Z e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) ) -> Z <_ ( B + X ) )
14	4, 7, 12, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> Z <_ ( B + X ) )
15	14	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> Z <_ ( B + X ) )
16	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( B + X ) e. RR )
17		iocssre 12253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR ) -> ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) C_ RR )
18	4, 6, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) C_ RR )
19		fourierdlem19.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. D )
20	10, 19	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
21	18, 20	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. RR )
22		fourierdlem19.t	. . . . . . 7 |- T = ( B - A )
23	5, 1	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
24	22, 23	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
25	21, 24	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( W + T ) e. RR )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( W + T ) e. RR )
27	18, 12	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. RR )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> Z e. RR )
29	22	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( B - A ) = T
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) = T )
31	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
32	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
33	24	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
34	31, 32, 33	subaddd 10410	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - A ) = T <-> ( A + T ) = B ) )
35	30, 34	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + T ) = B )
36	35	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( A + T ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B + X ) = ( ( A + T ) + X ) )
38	2	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. CC )
39	32, 33, 38	add32d 10263	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + T ) + X ) = ( ( A + X ) + T ) )
40	37, 39	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B + X ) = ( ( A + X ) + T ) )
41		iocgtlb 39724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR* /\ W e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) ) -> ( A + X ) < W )
42	4, 7, 20, 41	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + X ) < W )
43	3, 21, 24, 42	ltadd1dd 10638	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + X ) + T ) < ( W + T ) )
44	40, 43	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + X ) < ( W + T ) )
45	44	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( B + X ) < ( W + T ) )
46		fourierdlem19.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
48		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = W -> x = W )
49		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = W -> ( B - x ) = ( B - W ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = W -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - W ) / T ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = W -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = W -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) )
53	48, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = W -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x = W ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) )
55	5, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B - W ) e. RR )
56		fourierdlem19.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A < B )
57	1, 5	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
58	56, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
59	58, 22	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 < T )
60	59	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T =/= 0 )
61	55, 24, 60	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( B - W ) / T ) e. RR )
62	61	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. ZZ )
63	62	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. RR )
64	63, 24	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) e. RR )
65	21, 64	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
66	47, 54, 21, 65	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` W ) = ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) )
67	66, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` W ) e. RR )
68	67	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ` W ) e. CC )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( E ` W ) e. CC )
70	64	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) e. CC )
71	70	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) e. CC )
72	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> T e. CC )
73	69, 71, 72	subsubd 10420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( E ` W ) - ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) ) = ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) + T ) )
74	73	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) + T ) = ( ( E ` W ) - ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) ) )
75	5, 27	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - Z ) e. RR )
76	75, 24, 60	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B - Z ) / T ) e. RR )
77	76	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. ZZ )
78	77	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. RR )
79	78	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. RR )
80	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> T e. RR )
81	79, 80	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) e. RR )
82	63	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. RR )
83	82, 80	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) e. RR )
84	83, 80	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) e. RR )
85	67	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( E ` W ) e. RR )
86	78, 24	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) e. RR )
87	86	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) e. CC )
88	87, 33	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) - T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) = ( ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) - T ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) = ( ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) - T ) )
91	81, 80	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) e. RR )
92	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. CC )
93	92, 33	adddirp1d 10066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) )
94	93	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) x. T ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) x. T ) )
96		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> 1 e. RR )
97	79, 96	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) e. RR )
98		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
99	98, 24, 59	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ T )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> 0 <_ T )
101	85, 28	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( E ` W ) - Z ) e. RR )
102	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> W e. RR )
103	85, 102	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( E ` W ) - W ) e. RR )
104	24, 59	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> T e. RR+ )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> W < Z )
107	102, 28, 85, 106	ltsub2dd 10640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( E ` W ) - Z ) < ( ( E ` W ) - W ) )
108	101, 103, 105, 107	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( E ` W ) - Z ) / T ) < ( ( ( E ` W ) - W ) / T ) )
109		fourierdlem19.ezew	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E ` Z ) = ( E ` W ) )
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = Z -> x = Z )
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = Z -> ( B - x ) = ( B - Z ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = Z -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Z ) / T ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = Z -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) )
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = Z -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) )
115	110, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = Z -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x = Z ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
117	27, 86	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
118	47, 116, 27, 117	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E ` Z ) = ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
119	109, 118	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( E ` W ) = ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
120	119	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( E ` W ) - Z ) = ( ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) - Z ) )
121	27	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z e. CC )
122	121, 87	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) - Z ) = ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) )
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ` W ) - Z ) = ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( E ` W ) - Z ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) / T ) )
125	92, 33, 60	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) )
126	124, 125	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) = ( ( ( E ` W ) - Z ) / T ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) = ( ( ( E ` W ) - Z ) / T ) )
128	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ` W ) - W ) = ( ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) - W ) )
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( E ` W ) - W ) / T ) = ( ( ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) - W ) / T ) )
130	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. CC )
131	130, 70	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) - W ) = ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) )
132	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) - W ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) / T ) )
133	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. CC )
134	133, 33, 60	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) )
135	129, 132, 134	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) = ( ( ( E ` W ) - W ) / T ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) = ( ( ( E ` W ) - W ) / T ) )
137	108, 127, 136	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) < ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) )
138	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. ZZ )
139	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. ZZ )
140		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) < ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) <_ ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) ) )
141	138, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) < ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) <_ ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) ) )
142	137, 141	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) <_ ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) )
143	97, 82, 80, 100, 142	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) + 1 ) x. T ) <_ ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) )
144	95, 143	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) <_ ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) )
145	91, 83, 80, 144	lesub1dd 10643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) + T ) - T ) <_ ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) )
146	90, 145	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) <_ ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) )
147	81, 84, 85, 146	lesub2dd 10644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( E ` W ) - ( ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) - T ) ) <_ ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
148	74, 147	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) + T ) <_ ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
149	66	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` W ) )
150	68, 70, 130	subadd2d 10411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) = W <-> ( W + ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` W ) ) )
151	149, 150	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) = W )
152	151	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> W = ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) )
153	152	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W + T ) = ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) + T ) )
154	153	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( W + T ) = ( ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - W ) / T ) ) x. T ) ) + T ) )
155	118	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` Z ) )
156	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
157		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
158	156, 5, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
159	1, 5, 56, 22, 46	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
160	159, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` Z ) e. ( A (,] B ) )
161	158, 160	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` Z ) e. RR )
162	161	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ` Z ) e. CC )
163	162, 87, 121	subadd2d 10411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` Z ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) = Z <-> ( Z + ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` Z ) ) )
164	155, 163	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` Z ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) = Z )
165	109	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` Z ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
166	164, 165	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> Z = ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
167	166	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> Z = ( ( E ` W ) - ( ( |_ ` ( ( B - Z ) / T ) ) x. T ) ) )
168	148, 154, 167	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( W + T ) <_ Z )
169	16, 26, 28, 45, 168	ltletrd 10197	. . 3 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( B + X ) < Z )
170	16, 28	ltnled 10184	. . 3 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> ( ( B + X ) < Z <-> -. Z <_ ( B + X ) ) )
171	169, 170	mpbid 222	. 2 |- ( ( ph /\ W < Z ) -> -. Z <_ ( B + X ) )
172	15, 171	pm2.65da 600	1 |- ( ph -> -. W < Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fourierdlem51  40374