Theorem fourierdlem64 40387

Description: The partition V is finer than Q, when Q is moved on the same interval where V lies. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem64.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem64.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem64.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem64.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem64.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem64.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem64.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem64.h	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem64.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem64.v	|- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem64.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem64.l	|- L = sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
fourierdlem64.i	|- I = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem64	|- ( ph -> ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ L e. ZZ ) /\ E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   B, i, m, p   C, m, p   y, C   D, m, p   y, D   f, H   j, H   y, H   i, I, k, y   j, I, k   I, l, i   j, J, k   i, J, l   j, L, k   L, l   y, L   j, M, k   i, M, m, p   f, N   i, N, m, p   j, N   y, N   Q, j, k   Q, i, y   Q, l   Q, p   T, j, k   T, i, y   T, l   j, V, k   f, V   i, V, y   V, l   V, p   ph, f   ph, i, k   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( y, m, p, l)   A( y, f, j, k, l)   B( y, f, j, k, l)   C( f, i, j, k, l)   D( f, i, j, k, l)   P( y, f, i, j, k, m, p, l)   Q( f, m)   T( f, m, p)   H( i, k, m, p, l)   I( f, m, p)   J( y, f, m, p)   L( f, i, m, p)   M( y, f, l)   N( k, l)   V( m)

Proof of Theorem fourierdlem64

Dummy variables x b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem64.i	. . 3 |- I = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ( 0..^ M )
3		fzossfz 12488	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
4		fzssz 12343	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
6	2, 5	sstri 3612	. . . . . 6 |- { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ )
8		0zd 11389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
9		fourierdlem64.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
10	9	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
11	9	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
12		fzolb 12476	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
13	8, 10, 11, 12	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
14		fourierdlem64.l	. . . . . . . . . 10 |- L = sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ )
17		fourierdlem64.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
18		fourierdlem64.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
19		fourierdlem64.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> D e. RR )
20		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> { C , D } C_ RR )
21	18, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { C , D } C_ RR )
22		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D )
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D ) )
24	18, 19	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
25	23, 24	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ RR )
26	21, 25	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ RR )
27	17, 26	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H C_ RR )
28		fourierdlem64.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T = ( B - A )
29		fourierdlem64.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
30		fourierdlem64.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
31		fourierdlem64.cltd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> C < D )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
33		fourierdlem64.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
34		fourierdlem64.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
35	28, 29, 9, 30, 18, 19, 31, 32, 17, 33, 34	fourierdlem54 40377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ V e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` N ) ) /\ V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
36	35	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
37		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) -> V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
38		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> V : ( 0 ... N ) --> H )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> V : ( 0 ... N ) --> H )
40		fourierdlem64.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
41		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
43	39, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( V ` J ) e. H )
44	27, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( V ` J ) e. RR )
45	29	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	9, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	30, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
49		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
51	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. NN0 )
52		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53	51, 52	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
54		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
56	50, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
57	44, 56	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
58	29, 9, 30	fourierdlem11 40335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
59	58	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR )
60	58	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR )
61	59, 60	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
62	28, 61	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. RR )
63	58	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A < B )
64	60, 59	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
65	63, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
66	65, 28	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 < T )
67	66	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T =/= 0 )
68	57, 62, 67	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR )
69		btwnz 11479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) /\ E. z e. ZZ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) < z ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) /\ E. z e. ZZ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) < z ) )
71	70	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
72		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
73	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
74		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> k e. RR )
75	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> T e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( k x. T ) e. RR )
77	73, 76	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) e. RR )
78	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
80	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
81	62, 66	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> T e. RR+ )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> T e. RR+ )
83	74, 80, 82	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) <-> k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
84	79, 83	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) )
85	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> k e. RR )
87	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> T e. RR )
88	86, 87	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( k x. T ) e. RR )
89	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( V ` J ) e. RR )
90	85, 88, 89	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) <-> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) <-> ( k x. T ) < ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
92	84, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) < ( V ` J ) )
93	77, 78, 92	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
95	72, 94	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
96	95	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. k e. ZZ k < ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
97	71, 96	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
98		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) <-> E. k e. ZZ ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
99	97, 98	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
100		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ph )
101	16	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> j e. ZZ )
102		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( k x. T ) = ( j x. T ) )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) )
104	103	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
105	104	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( j e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
106	105	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
108		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ZZ -> j e. RR )
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
110	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
111		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. RR ) -> j e. RR )
112	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. RR ) -> T e. RR )
113	111, 112	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. RR ) -> ( j x. T ) e. RR )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( j x. T ) e. RR )
115	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
116	110, 114, 115	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) ) )
117	109, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) )
118		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j e. RR )
119	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) e. RR )
120	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> T e. RR+ )
121	118, 119, 120	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( j x. T ) <_ ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) <-> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
122	117, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. RR ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
123	108, 122	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( j x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
124	100, 101, 107, 123	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
125	124	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) )
126		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( j <_ b <-> j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
127	126	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) -> ( A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b <-> A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) )
128	127	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) e. RR /\ A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ ( ( ( V ` J ) - ( Q ` 0 ) ) / T ) ) -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
129	68, 125, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
130		suprzcl 11457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ /\ { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b ) -> sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
131	16, 99, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
132	14, 131	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
133		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = L -> ( k x. T ) = ( L x. T ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = L -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) )
135	134	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( k = L -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
136	135	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( L e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( L e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
137	132, 136	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
138	137	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
139		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 0 -> ( Q ` j ) = ( Q ` 0 ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( j = 0 -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) )
141	140	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( j = 0 -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
142	141	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` 0 ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
143	13, 138, 142	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
144		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
145	143, 144	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
146	9	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
147	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ( 0..^ M ) )
148	147	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> k e. ( 0..^ M ) )
149		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k e. ZZ )
150	149	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k e. RR )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> k e. RR )
152	146	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> M e. RR )
153		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k < M )
154	153	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> k < M )
155	151, 152, 154	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> k <_ M )
156	148, 155	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> k <_ M )
157	156	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M )
158		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( b = M -> ( k <_ b <-> k <_ M ) )
159	158	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( b = M -> ( A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b <-> A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M ) )
160	159	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ M ) -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
161	146, 157, 160	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
162		suprzcl 11457	. . . . 5 |- ( ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ ZZ /\ { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b ) -> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
163	7, 145, 161, 162	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
164	2, 163	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
165	1, 164	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
166	15, 131	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ZZ )
167	14, 166	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> L e. ZZ )
168	3, 165	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
169	50, 168	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
170	167	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. RR )
171	170, 62	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L x. T ) e. RR )
172	169, 171	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR )
173	172	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
174	173	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
175		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
176	165, 175	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
177	50, 176	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
178	177, 171	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
179	178	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
180	179	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR* )
181		elioore 12205	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -> x e. RR )
182	181	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
183	172	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) e. RR )
184	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
185	1, 163	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
186		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
187	186	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = I -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) )
188	187	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = I -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
189	188	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
190	185, 189	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
191	190	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
192	191	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
193	184	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR* )
194		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
195	40, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
196	39, 195	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. H )
197	27, 196	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
198	197	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
199	198	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
200		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
201		ioogtlb 39717	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V ` J ) e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) < x )
202	193, 199, 200, 201	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` J ) < x )
203	183, 184, 182, 192, 202	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) < x )
204		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ZZ C_ RR
205	15, 204	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR )
207	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
208	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b )
209	167	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
210	209	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
211		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( I = ( M - 1 ) -> ( I + 1 ) = ( ( M - 1 ) + 1 ) )
212	146	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> M e. CC )
213		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 e. CC )
214	212, 213	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
215	211, 214	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) = M )
216	215	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( Q ` M ) )
217	47	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
218	217	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
219	218	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` M ) = B )
221	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> B e. CC )
222	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A e. CC )
223	221, 222	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( B - A ) + A ) = B )
224	223	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B = ( ( B - A ) + A ) )
225	28	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( B - A ) = T
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( B - A ) = T )
227	226	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( B - A ) + A ) = ( T + A ) )
228	218	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
229	228	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
230	229	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( T + A ) = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
231	224, 227, 230	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
232	231	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> B = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
233	216, 220, 232	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( T + ( Q ` 0 ) ) )
234	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> T e. CC )
235	228, 222	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. CC )
236	234, 235	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( T + ( Q ` 0 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( T + ( Q ` 0 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
238	233, 237	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
239	238	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) )
240	171	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( L x. T ) e. CC )
241	235, 234, 240	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( T + ( L x. T ) ) ) )
242	234	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
243	242, 234	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 1 x. T ) e. CC )
244	243, 240	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( 1 x. T ) + ( L x. T ) ) = ( ( L x. T ) + ( 1 x. T ) ) )
245	242	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> T = ( 1 x. T ) )
246	245	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( T + ( L x. T ) ) = ( ( 1 x. T ) + ( L x. T ) ) )
247	170	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> L e. CC )
248	247, 213, 234	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( L + 1 ) x. T ) = ( ( L x. T ) + ( 1 x. T ) ) )
249	244, 246, 248	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( T + ( L x. T ) ) = ( ( L + 1 ) x. T ) )
250	249	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + ( T + ( L x. T ) ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
251	241, 250	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
252	251	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + T ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
253	239, 252	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
254	253	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
255		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
256	254, 255	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
257		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( L + 1 ) -> ( k x. T ) = ( ( L + 1 ) x. T ) )
258	257	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( L + 1 ) -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) )
259	258	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( L + 1 ) -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
260	259	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L + 1 ) e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( ( Q ` 0 ) + ( ( L + 1 ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
261	210, 256, 260	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
262		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR /\ { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. j e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } j <_ b ) /\ ( L + 1 ) e. { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( L + 1 ) <_ sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
263	206, 207, 208, 261, 262	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) <_ sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
264	263, 14	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( L + 1 ) <_ L )
265	170	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L < ( L + 1 ) )
266		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
267	170, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
268	170, 267	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L < ( L + 1 ) <-> -. ( L + 1 ) <_ L ) )
269	265, 268	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. ( L + 1 ) <_ L )
270	269	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> -. ( L + 1 ) <_ L )
271	264, 270	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ I = ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
272	5, 165	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. ZZ )
273	272	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. RR )
274	273	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I e. RR )
275		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
276	146, 275	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
277	276	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
278		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I < M )
279		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
280		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
281		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( I < M <-> I <_ ( M - 1 ) ) )
282	279, 280, 281	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I < M <-> I <_ ( M - 1 ) ) )
283	278, 282	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I <_ ( M - 1 ) )
284	165, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I <_ ( M - 1 ) )
285	284	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I <_ ( M - 1 ) )
286		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I = ( M - 1 ) -> I =/= ( M - 1 ) )
287	286	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I = ( M - 1 ) -> ( M - 1 ) =/= I )
288	287	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) =/= I )
289	274, 277, 285, 288	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> I < ( M - 1 ) )
290	6, 204	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR
291	290	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR )
292	145	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) )
293	161	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b )
294	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
295	273	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> I e. RR )
296	276	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
297		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> 1 e. RR )
298		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> I < ( M - 1 ) )
299	295, 296, 297, 298	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) < ( ( M - 1 ) + 1 ) )
300	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
301	299, 300	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) < M )
302		elfzfzo 39488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) < M ) )
303	294, 301, 302	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
304	303	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
305		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( I + 1 ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
306	305	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
307	306	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( I + 1 ) -> ( ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
308	307	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I + 1 ) e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
309	304, 308	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } )
310		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } C_ RR /\ { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } =/= (/) /\ E. b e. RR A. k e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } k <_ b ) /\ ( I + 1 ) e. { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
311	291, 292, 293, 309, 310	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) )
312	311, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ I )
313	273	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I < ( I + 1 ) )
314		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
315	273, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
316	273, 315	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
317	313, 316	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
318	317	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) -> -. ( I + 1 ) <_ I )
319	312, 318	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ I < ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
320	289, 319	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. I = ( M - 1 ) ) -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
321	271, 320	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) )
322	44, 178	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
323	321, 322	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
324	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
325	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D e. RR )
326	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
327	18	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR* )
328	19	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR* )
329	18, 19, 31	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C <_ D )
330		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> C e. ( C [,] D ) )
331	327, 328, 329, 330	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. ( C [,] D ) )
332		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> D e. ( C [,] D ) )
333	327, 328, 329, 332	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. ( C [,] D ) )
334	331, 333	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) )
335		prssg 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
336	18, 19, 335	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
337	334, 336	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> { C , D } C_ ( C [,] D ) )
338	337, 23	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ ( C [,] D ) )
339	17, 338	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H C_ ( C [,] D ) )
340	339, 196	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
341		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
342	327, 328, 340, 341	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
343	342	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ D )
344		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
345	324, 325, 326, 343, 344	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
346	345	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
347		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
348	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
349	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> D e. RR )
350	348, 349	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D <-> -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
351	347, 350	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
352	351	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
353		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
354		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
355	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
356	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
357	355, 356	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) <-> -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
358	354, 357	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
359	358	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
360	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> C e. RR )
361	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> D e. RR )
362	178	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
363	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C e. RR )
364	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
365	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) e. RR )
366	339, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( V ` J ) e. ( C [,] D ) )
367		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( V ` J ) e. ( C [,] D ) ) -> C <_ ( V ` J ) )
368	327, 328, 366, 367	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> C <_ ( V ` J ) )
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C <_ ( V ` J ) )
370		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
371	363, 365, 364, 369, 370	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
372	363, 364, 371	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> C <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
373	372	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> C <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
374	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
375	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> D e. RR )
376		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D )
377	374, 375, 376	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ D )
378	377	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) <_ D )
379	360, 361, 362, 373, 378	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( C [,] D ) )
380	167	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -u L e. ZZ )
381	247, 234	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( -u L x. T ) = -u ( L x. T ) )
382	381	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + -u ( L x. T ) ) )
383	178	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. CC )
384	383, 240	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + -u ( L x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) - ( L x. T ) ) )
385	177	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. CC )
386	385, 240	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) - ( L x. T ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
387	382, 384, 386	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
388		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
389	50, 388	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
390		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
391	389, 176, 390	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
392	387, 391	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q )
393		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = -u L -> ( k x. T ) = ( -u L x. T ) )
394	393	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = -u L -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) )
395	394	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = -u L -> ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q ) )
396	395	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u L e. ZZ /\ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( -u L x. T ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
397	380, 392, 396	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
398	397	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
399		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( y + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) )
400	399	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
401	400	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
402	401	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
403	379, 398, 402	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
404		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
405	403, 404	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
406	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = H
407	405, 406	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H )
408	407	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H )
409		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> V : ( 0 ... N ) -onto-> H )
410	36, 37, 409	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> V : ( 0 ... N ) -onto-> H )
411		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V : ( 0 ... N ) -onto-> H /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
412	410, 411	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
413		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
414	413	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
415	414	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
416	415	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
417	412, 416	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
418	417	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
419		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
420	413	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
421	420	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) = ( V ` j ) )
422	419, 421	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
423	422	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
424	423	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` J ) < ( V ` j ) )
425	36	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
426	42	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
427		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
428		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( V ` J ) < ( V ` j ) ) )
429	425, 426, 427, 428	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J < j <-> ( V ` J ) < ( V ` j ) ) )
430	424, 429	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J < j )
431	430	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> J < j )
432		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
433		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
434	432, 433	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
435	434	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
436	435	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) )
437	36	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
438		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
439	195	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
440		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
441	437, 438, 439, 440	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( V ` j ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
442	436, 441	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
443	442	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
444	431, 443	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
445	444	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
446	445	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
447	446	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( V ` j ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
448	418, 447	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < ( V ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
449	353, 359, 408, 448	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
450		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
451	450	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
452		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. ( 0 ... N ) -> J e. ZZ )
453	42, 452	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. ZZ )
454	453	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J e. ZZ )
455		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J < j )
456		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
457		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
458	454, 455, 456, 457	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> -. j e. ZZ )
459	451, 458	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
460	459	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
461	460	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) /\ -. ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
462	449, 461	condan 835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) < D ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
463	352, 462	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) /\ -. D <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
464	346, 463	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( V ` J ) < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
465	323, 464	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
466	465	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
467	182	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x e. RR )
468	197	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR )
469	178	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) e. RR )
470		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V ` J ) e. RR* /\ ( V ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
471	193, 199, 200, 470	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
472	471	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x < ( V ` ( J + 1 ) ) )
473		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
474	467, 468, 469, 472, 473	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( V ` ( J + 1 ) ) <_ ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
475	466, 474	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
476	174, 180, 182, 203, 475	eliood 39720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
477	476	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
478		dfss3 3592	. . . 4 |- ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) <-> A. x e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) x e. ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
479	477, 478	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
480		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( Q ` i ) = ( Q ` I ) )
481	480	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) )
482		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( i + 1 ) = ( I + 1 ) )
483	482	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
484	483	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) )
485	481, 484	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( i = I -> ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
486	485	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( i = I -> ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) <-> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )
487		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( l = L -> ( l x. T ) = ( L x. T ) )
488	487	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( l = L -> ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) )
489	487	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( l = L -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) = ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) )
490	488, 489	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( l = L -> ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) )
491	490	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( l = L -> ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) <-> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) ) )
492	486, 491	rspc2ev 3324	. . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ L e. ZZ /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` I ) + ( L x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( I + 1 ) ) + ( L x. T ) ) ) ) -> E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
493	165, 167, 479, 492	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
494	165, 167, 493	jca31 557	1 |- ( ph -> ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ L e. ZZ ) /\ E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   iotacio 5849   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  fourierdlem97  40420