Theorem sqwvfourb 40446

Description: Fourier series B coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfourb.t	|- T = ( 2 x. pi )
sqwvfourb.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
sqwvfourb.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
sqwvfourb	|- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   T( x)   F( x)

Proof of Theorem sqwvfourb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	renegcli 10342	. . . . 5 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		negpilt0 39492	. . . . . . 7 |- -u pi < 0
7	2, 5, 6	ltleii 10160	. . . . . 6 |- -u pi <_ 0
8		pipos 24212	. . . . . . 7 |- 0 < pi
9	5, 1, 8	ltleii 10160	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
10	2, 1	elicc2i 12239	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 /\ 0 <_ pi ) )
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- 0 e. ( -u pi [,] pi )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( -u pi [,] pi ) )
13		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) pi ) -> x e. RR )
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. RR )
15		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
16	15	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
17	15, 16	keepel 4155	. . . . . . 7 |- if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR
18		sqwvfourb.f	. . . . . . . 8 |- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
19	18	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
20	14, 17, 19	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
21	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. CC )
23	20, 22	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
24		sqwvfourb.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
25	24	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> N e. CC )
27	14	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
28	26, 27	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. CC )
29	28	sincld 14860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. CC )
30	23, 29	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. CC )
31		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. RR )
32	31, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi e. RR )
34		sqwvfourb.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( 2 x. pi )
35		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
36		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR+
37		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
39	34, 38	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR+ )
41	31, 40	modcld 12674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x mod T ) e. RR )
42		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- pi e. CC
43	42	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
44	34, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = ( pi + pi )
45	44	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u pi + T ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
46	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. CC
47	46, 42, 42	addassi 10048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
48	42	negidi 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi + -u pi ) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u pi + pi ) = 0
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( 0 + pi )
51	42	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + pi ) = pi
52	50, 51	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = pi
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi = ( -u pi + T )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi = ( -u pi + T ) )
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR )
56		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
57	56, 1	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. RR
58	34, 57	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR )
60	2	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR*
61		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
62		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> -u pi < x )
63	60, 61, 62	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi < x )
64	55, 31, 59, 63	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi + T ) < ( x + T ) )
65	54, 64	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x + T ) )
66	58	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. CC
67	66	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. T ) = T
68	67	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 x. T )
69	68	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. T ) )
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + T ) mod T ) = ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T )
71	31, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) e. RR )
72		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
73	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < pi )
74	72, 33, 71, 73, 65	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < ( x + T ) )
75	72, 71, 74	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 <_ ( x + T ) )
76		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x < 0 )
77	60, 61, 76	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x < 0 )
78	31, 72, 59, 77	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < ( 0 + T ) )
79	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. CC )
80	79	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 + T ) = T )
81	78, 80	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < T )
82		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x + T ) e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( x + T ) /\ ( x + T ) < T ) ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
83	71, 40, 75, 81, 82	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
84		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 1 e. ZZ )
85		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ T e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
86	31, 40, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
87	70, 83, 86	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) = ( x mod T ) )
88	65, 87	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x mod T ) )
89	33, 41, 88	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -. ( x mod T ) < pi )
90	89	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
91	32, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = -u 1 )
92	91	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( F ` x ) = -u 1 )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
94	93	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) )
95		neg1cn 11124	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
96	95	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
97	24	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
98	97	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
99	31	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x e. RR )
100	98, 99	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
101	100	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. RR )
102		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 )
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 ) )
104		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol )
106	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> N e. RR )
107		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u pi [,] 0 ) C_ RR )
108	2, 5, 107	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ RR
109	108	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi [,] 0 ) -> x e. RR )
110	109	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> x e. RR )
111	106, 110	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
112	111	resincld 14873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. RR )
113		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
114		sincn 24198	. . . . . . . . . 10 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
116		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
117	108, 116	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ CC
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] 0 ) C_ CC )
119		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
121	118, 25, 120	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> N ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
122	118, 120	idcncfg 40085	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> x ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
123	121, 122	mulcncf 23215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124	115, 123	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125		cniccibl 23607	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
126	3, 113, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
127	103, 105, 112, 126	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
128	96, 101, 127	iblmulc2 23597	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
129	94, 128	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
130	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> -u pi e. RR* )
131	1	rexri 10097	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR*
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR* )
133		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
134	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> -u pi e. RR )
135		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR )
136	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> -u pi < 0 )
137		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 < x )
138	61, 131, 137	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < x )
139	134, 135, 133, 136, 138	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> -u pi < x )
140		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x < pi )
141	61, 131, 140	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < pi )
142	130, 132, 133, 139, 141	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
143	142, 20	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
144	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR+ )
145	135, 133, 138	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ x )
146	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR )
147	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR )
148		2timesgt 39500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> pi < ( 2 x. pi ) )
149	36, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < ( 2 x. pi )
150	149, 34	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi < T
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi < T )
152	133, 146, 147, 141, 151	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < T )
153		modid 12695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < T ) ) -> ( x mod T ) = x )
154	133, 144, 145, 152, 153	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) = x )
155	154, 141	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) < pi )
156	155	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
158	143, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
160	142, 29	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. CC )
161	160	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( sin ` ( N x. x ) ) )
162	159, 161	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( sin ` ( N x. x ) ) )
163	162	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
164		ioossicc 12259	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
165	164	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
166		ioombl 23333	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
167	166	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
168	97	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. RR )
169		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
170	5, 1, 169	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
171	170	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. RR )
172	171	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. RR )
173	168, 172	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
174	173	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. RR )
175	170, 116	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
177	176, 25, 120	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> N ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
178	176, 120	idcncfg 40085	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179	177, 178	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180	115, 179	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181		cniccibl 23607	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
182	113, 4, 180, 181	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
183	165, 167, 174, 182	iblss 23571	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
184	163, 183	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
185	3, 4, 12, 30, 129, 184	itgsplitioo 23604	. . 3 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) )
186	185	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) )
187	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
188	187	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
189	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR* )
190	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi e. RR* )
191	31, 72, 33, 77, 73	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x < pi )
192	189, 190, 31, 63, 191	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
193	192, 29	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( N x. x ) ) e. CC )
194	193	mulm1d 10482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = -u ( sin ` ( N x. x ) ) )
195	188, 194	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = -u ( sin ` ( N x. x ) ) )
196	195	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin ` ( N x. x ) ) _d x )
197	101, 127	itgneg 23570	. . . . . 6 |- ( ph -> -u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin ` ( N x. x ) ) _d x )
198	24	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
199	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ 0 )
200	25, 198, 3, 113, 199	itgsincmulx 40190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( N x. -u pi ) ) - ( cos ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) )
201	24	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
202		cosknegpi 40080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( cos ` ( N x. -u pi ) ) = if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) )
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( N x. -u pi ) ) = if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) )
204	25	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N x. 0 ) = 0 )
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( cos ` ( N x. 0 ) ) = ( cos ` 0 ) )
206		cos0 14880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( cos ` 0 ) = 1
207	205, 206	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( N x. 0 ) ) = 1 )
208	203, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( cos ` ( N x. -u pi ) ) - ( cos ` ( N x. 0 ) ) ) = ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) )
209		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
210		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 || N -> if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) = 1 )
211	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 || N -> ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
212		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = 0 )
213	209, 211, 212	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 || N -> ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) = if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) )
214		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. 2 || N -> if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
215	214	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 || N -> ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) = ( -u 1 - 1 ) )
216		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
217		negdi2 10339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( 1 + 1 ) = ( -u 1 - 1 ) )
218	216, 216, 217	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( 1 + 1 ) = ( -u 1 - 1 )
219	218	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 - 1 ) = -u ( 1 + 1 )
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 || N -> ( -u 1 - 1 ) = -u ( 1 + 1 ) )
221		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = -u 2 )
222		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
223	222	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( 1 + 1 ) = -u 2
224	221, 223	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 || N -> -u ( 1 + 1 ) = if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) )
225	215, 220, 224	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 2 || N -> ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) = if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) )
226	213, 225	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) - 1 ) = if ( 2 || N , 0 , -u 2 )
227	208, 226	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( cos ` ( N x. -u pi ) ) - ( cos ` ( N x. 0 ) ) ) = if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) )
228	227	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( N x. -u pi ) ) - ( cos ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) )
229	200, 228	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = ( if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) )
230	229	negeqd 10275	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = -u ( if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) )
231		0cn 10032	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
232		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
233	232	negcli 10349	. . . . . . . . . 10 |- -u 2 e. CC
234	231, 233	keepel 4155	. . . . . . . . 9 |- if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) e. CC
235	234	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) e. CC )
236	235, 25, 198	divnegd 10814	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) = ( -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) )
237		neg0 10327	. . . . . . . . . . 11 |- -u 0 = 0
238	212	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 || N -> -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = -u 0 )
239		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , 2 ) = 0 )
240	237, 238, 239	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || N -> -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
241	232	negnegi 10351	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 2 = 2
242	221	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. 2 || N -> -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = -u -u 2 )
243		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , 2 ) = 2 )
244	241, 242, 243	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 2 || N -> -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
245	240, 244	pm2.61i 176	. . . . . . . . 9 |- -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) = if ( 2 || N , 0 , 2 )
246	245	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N )
247	246	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u if ( 2 || N , 0 , -u 2 ) / N ) = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) )
248	230, 236, 247	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> -u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) )
249	196, 197, 248	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) )
250	133, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
251	250, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = 1 )
252	251	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
253	252	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) )
254	253, 161	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) = ( sin ` ( N x. x ) ) )
255	254	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x )
256	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ pi )
257	25, 198, 113, 4, 256	itgsincmulx 40190	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( N x. 0 ) ) - ( cos ` ( N x. pi ) ) ) / N ) )
258		coskpi2 40077	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( cos ` ( N x. pi ) ) = if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) )
259	201, 258	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( cos ` ( N x. pi ) ) = if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) )
260	207, 259	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( cos ` ( N x. 0 ) ) - ( cos ` ( N x. pi ) ) ) = ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) )
261	210	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || N -> ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
262	209, 261, 239	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . 9 |- ( 2 || N -> ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
263	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 2 || N -> ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 - -u 1 ) )
264	216, 216	subnegi 10360	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - -u 1 ) = ( 1 + 1 )
265	264	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 2 || N -> ( 1 - -u 1 ) = ( 1 + 1 ) )
266	243, 222	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 2 || N -> ( 1 + 1 ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
267	263, 265, 266	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( -. 2 || N -> ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
268	262, 267	pm2.61i 176	. . . . . . . 8 |- ( 1 - if ( 2 || N , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || N , 0 , 2 )
269	260, 268	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( cos ` ( N x. 0 ) ) - ( cos ` ( N x. pi ) ) ) = if ( 2 || N , 0 , 2 ) )
270	269	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( N x. 0 ) ) - ( cos ` ( N x. pi ) ) ) / N ) = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) )
271	255, 257, 270	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) )
272	249, 271	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) = ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) + ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) ) )
273	231, 232	keepel 4155	. . . . . 6 |- if ( 2 || N , 0 , 2 ) e. CC
274	273	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> if ( 2 || N , 0 , 2 ) e. CC )
275	274, 274, 25, 198	divdird 10839	. . . 4 |- ( ph -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) + ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) / N ) ) )
276	239, 239	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) = ( 0 + 0 ) )
277		00id 10211	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
278	276, 277	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) = 0 )
279	278	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( 2 || N -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
280	279	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
281	25, 198	div0d 10800	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
282	281	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( 0 / N ) = 0 )
283		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) = 0 )
284	283	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( 2 || N -> 0 = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
285	284	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> 0 = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
286	280, 282, 285	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
287	243, 243	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( -. 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) = ( 2 + 2 ) )
288		2p2e4 11144	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
289	287, 288	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( -. 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) = 4 )
290	289	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || N -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = ( 4 / N ) )
291		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) = ( 4 / N ) )
292	290, 291	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( -. 2 || N -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
293	292	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 2 || N ) -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
294	286, 293	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ph -> ( ( if ( 2 || N , 0 , 2 ) + if ( 2 || N , 0 , 2 ) ) / N ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
295	272, 275, 294	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) )
296	295	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) = ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) )
297	283	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = ( 0 / pi ) )
298	297	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = ( 0 / pi ) )
299	5, 8	gtneii 10149	. . . . . 6 |- pi =/= 0
300	42, 299	div0i 10759	. . . . 5 |- ( 0 / pi ) = 0
301	300	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( 0 / pi ) = 0 )
302		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) = 0 )
303	302	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( 2 || N -> 0 = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
304	303	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> 0 = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
305	298, 301, 304	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 || N ) -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
306	291	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( -. 2 || N -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = ( ( 4 / N ) / pi ) )
307	306	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. 2 || N ) -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = ( ( 4 / N ) / pi ) )
308		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
309	308	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 4 e. CC )
310	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. CC )
311	299	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> pi =/= 0 )
312	309, 25, 310, 198, 311	divdiv1d 10832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 / N ) / pi ) = ( 4 / ( N x. pi ) ) )
313	312	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. 2 || N ) -> ( ( 4 / N ) / pi ) = ( 4 / ( N x. pi ) ) )
314		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. 2 || N -> if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) = ( 4 / ( N x. pi ) ) )
315	314	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( -. 2 || N -> ( 4 / ( N x. pi ) ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
316	315	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. 2 || N ) -> ( 4 / ( N x. pi ) ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
317	307, 313, 316	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ -. 2 || N ) -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
318	305, 317	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( if ( 2 || N , 0 , ( 4 / N ) ) / pi ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )
319	186, 296, 318	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = if ( 2 || N , 0 , ( 4 / ( N x. pi ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   mod cmo 12668   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   || cdvds 14983   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fouriersw  40448