2pwp1prm - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2pwp1prm 41503

Description: For every prime number of the form

must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2pwp1prm	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem 2pwp1prm Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 15607	. . . 4 $/\$ $\$
2	1	adantlr 751	. . 3 $/\$ $/\$ $\$
3		eldifi 3732	. . . . . . . 8 $\$
4		prmnn 15388	. . . . . . . 8
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 $\$
6		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$
7		nndivides 14990	. . . . . . 7 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anr 495	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
9		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14	10, 11, 13	expge1d 13027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18	17, 11	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19	18	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
21	15, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	14, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	18	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26	25	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
27	23, 24, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	22, 27	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
31	18	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
33	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
34	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
35	5	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
37	34, 36	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
38	33, 37	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
39	38	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
40		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
42		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
44	5	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
46	43, 45	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
47		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
49		prmgt1 15409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
52		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
54	5	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
56		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
58		ltmulgt11 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
59	53, 55, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
60	51, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
61		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	41, 43, 46, 48, 60, 61	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
63	32, 39, 40, 62	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
64	63	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
65	23, 24	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	65	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
72	64, 68, 71	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
73		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75	19, 74	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
77		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ ..^
79	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$
80		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
81		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
82	79, 80, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$ $/\$ ..^
83	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$ $/\$ ..^
84		fzonnsub 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $/\$ $/\$ ..^
86		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$ $/\$ ..^
88		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
89	83, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$ $/\$ ..^
90	82, 89	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $/\$ ..^
91	78, 90	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ ..^
92		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ ..^
93	76, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ ..^
94	93	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ ..^
95	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
96		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
98		pwdif 41501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ ..^
99	36, 95, 97, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ ..^
100	99	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ ..^
101	100	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ ..^
102	94, 101	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
103		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105	103, 104	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107	105, 106	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108	107	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112	111	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
114		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$
115	114, 36, 34	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
116	115	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
117	113, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
118		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119	44, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
120	119	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
121	120	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
122		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
123		oddn2prm 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
124		oexpneg 15069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
125	122, 5, 123, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
126	125	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
127	121, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
129	128	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
130	117, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
131	110, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
133	102, 132	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
134	30, 72, 133	dvdsnprmd 15403	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
135	134	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
137	136	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
138	137	impancom 456	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
139	138	impl 650	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
140	139	rexlimdva 3031	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
141	8, 140	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$
142	141	rexlimdva 3031	. . . 4 $/\$ $\$
143	142	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $\$
144	2, 143	mpd 15	. 2 $/\$ $/\$
145	144	pm2.18da 459	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wrex 2913 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377 ..^cfzo 12465

cexp 12860

csu 14416

cdvds 14983

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: 2pwp1prmfmtno 41504

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