Theorem fourierdlem51 40374

Description: X is in the periodic partition, when the considered interval is centered at X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem51.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem51.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem51.alt0	|- ( ph -> A < 0 )
fourierdlem51.bgt0	|- ( ph -> 0 < B )
fourierdlem51.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem51.cfi	|- ( ph -> C e. Fin )
fourierdlem51.css	|- ( ph -> C C_ ( A [,] B ) )
fourierdlem51.bc	|- ( ph -> B e. C )
fourierdlem51.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem51.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem51.exc	|- ( ph -> ( E ` X ) e. C )
fourierdlem51.d	|- D = ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
fourierdlem51.f	|- F = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) , D ) )
fourierdlem51.h	|- H = { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem51	|- ( ph -> X e. ran F )

Distinct variable groups:   x, k, A, y   B, k, x, y   C, k, x, y   D, f   k, E, x   f, F   x, H   T, k, x, y   k, X, x, y   ph, f   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( f)   B( f)   C( f)   D( x, y, k)   T( f)   E( y, f)   F( x, y, k)   H( y, f, k)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem51

Dummy variables i j w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem51.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem51.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
3	1, 2	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
4		fourierdlem51.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
5	4, 2	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
6		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		fourierdlem51.alt0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < 0 )
8	1, 6, 2, 7	ltadd1dd 10638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + X ) < ( 0 + X ) )
9	2	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. CC )
10	9	addid2d 10237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 + X ) = X )
11	8, 10	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + X ) < X )
12	3, 2, 11	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + X ) <_ X )
13		fourierdlem51.bgt0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < B )
14	6, 4, 2, 13	ltadd1dd 10638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 + X ) < ( B + X ) )
15	10, 14	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> X < ( B + X ) )
16	2, 5, 15	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> X <_ ( B + X ) )
17	3, 5, 2, 12, 16	eliccd 39726	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
18	4, 2	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
19		fourierdlem51.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( B - A )
20	4, 1	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
21	19, 20	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. RR )
22	1, 6, 4, 7, 13	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
23	1, 4	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
24	22, 23	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
25	19	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( B - A ) = T
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) = T )
27	24, 26	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < T )
28	27	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= 0 )
29	18, 21, 28	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. RR )
30	29	flcld 12599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
31		fourierdlem51.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
33		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> x = X )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( B - x ) = ( B - X ) )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
38	33, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
40	30	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
41	40, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. RR )
42	2, 41	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
43	32, 39, 2, 42	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
44		fourierdlem51.exc	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) e. C )
45	43, 44	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. C )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( X + ( k x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( X + ( k x. T ) ) e. C <-> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. C ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ /\ ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. C ) -> E. k e. ZZ ( X + ( k x. T ) ) e. C )
50	30, 45, 49	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( X + ( k x. T ) ) e. C )
51		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( y + ( k x. T ) ) = ( X + ( k x. T ) ) )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. C <-> ( X + ( k x. T ) ) e. C ) )
53	52	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C <-> E. k e. ZZ ( X + ( k x. T ) ) e. C ) )
54	53	elrab 3363	. . . . 5 |- ( X e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } <-> ( X e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) /\ E. k e. ZZ ( X + ( k x. T ) ) e. C ) )
55	17, 50, 54	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> X e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
56		elun2 3781	. . . 4 |- ( X e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> X e. ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
57	55, 56	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X e. ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
58		fourierdlem51.d	. . 3 |- D = ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
59	57, 58	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> X e. D )
60		prfi 8235	. . . . . 6 |- { ( A + X ) , ( B + X ) } e. Fin
61		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { ( A + X ) } e. Fin
62		fourierdlem51.cfi	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. Fin )
63		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) = ( E ` x ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) = ( E ` x ) )
65		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( y + ( k x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
66	65	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. C <-> ( x + ( k x. T ) ) e. C ) )
67	66	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) )
68	67	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } <-> ( x e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) )
69	68	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C )
71		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ph
72		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C
73		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( ( A + X ) (,] ( B + X ) )
74	72, 73	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }
75	74	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }
76	71, 75	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
77		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( E ` x ) e. C
78		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ph )
79	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
80		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR ) -> ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) C_ RR )
81	79, 5, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) C_ RR )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) C_ RR )
83		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> x e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> x e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
85	82, 84	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> x e. RR )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
87	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR )
88	87, 86	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( B - x ) e. RR )
89	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. RR )
90	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T =/= 0 )
91	88, 89, 90	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( B - x ) / T ) e. RR )
92	91	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
93	92	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. RR )
94	93, 89	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. RR )
95	86, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
96	31	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
97	86, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
98	97	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
99		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) )
100	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) = A )
102	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> A e. RR* )
103	4	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> B e. RR* )
104	1, 4, 22	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> A <_ B )
105		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
106	102, 103, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> A e. ( A [,] B ) )
108	101, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
109	108	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
110	99, 100, 109	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) )
111		iocssicc 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A (,] B ) C_ ( A [,] B )
112	1, 4, 22, 19, 31	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
113	112	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
114	111, 113	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A [,] B ) )
115	97, 114	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
116	115	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
117	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR* )
118	87	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR* )
119		iocgtlb 39724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( E ` x ) e. ( A (,] B ) ) -> A < ( E ` x ) )
120	117, 118, 113, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A < ( E ` x ) )
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> A < ( E ` x ) )
122		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x + ( k x. T ) ) = A -> ( x + ( k x. T ) ) = A )
123	122	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x + ( k x. T ) ) = A -> A = ( x + ( k x. T ) ) )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> A = ( x + ( k x. T ) ) )
125	121, 124, 98	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) < ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
126		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
128	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
129	127, 128	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
130	129	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( k x. T ) e. RR )
132	94	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. RR )
133		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> x e. RR )
134	131, 132, 133	ltadd2d 10193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( k x. T ) < ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) <-> ( x + ( k x. T ) ) < ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
135	125, 134	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( k x. T ) < ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
136	126	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> k e. RR )
137	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. RR )
138	21, 27	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> T e. RR+ )
139	138	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> T e. RR+ )
140	136, 137, 139	ltmul1d 11913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) <-> ( k x. T ) < ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
141	135, 140	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) )
142		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. _V
143		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( j e. ZZ <-> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) )
144	143	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) <-> ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
145	144	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
146		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( j x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( x + ( j x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
148	147	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) )
149	145, 148	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
150		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k < j <-> k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) ) )
151	149, 150	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < j ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) ) ) )
152		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( j = ( k + 1 ) <-> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( k + 1 ) ) )
153	151, 152	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < j ) -> j = ( k + 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( k + 1 ) ) ) )
154		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( i = k -> ( i e. ZZ <-> k e. ZZ ) )
155	154	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) <-> ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) ) )
156	155	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = k -> ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) <-> ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) ) )
157		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( i = k -> ( i x. T ) = ( k x. T ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i = k -> ( x + ( i x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
159	158	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = k -> ( ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) )
160	156, 159	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i = k -> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
161	160	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
162		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( i < j <-> k < j ) )
163	161, 162	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = k -> ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < j ) ) )
164		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
165	164	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = k -> ( j = ( i + 1 ) <-> j = ( k + 1 ) ) )
166	163, 165	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = k -> ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> j = ( i + 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < j ) -> j = ( k + 1 ) ) ) )
167		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> ph )
168	167, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> A e. RR )
169	167, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> B e. RR )
170	167, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> A < B )
171		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> x e. RR )
172		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> i e. ZZ )
173		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> j e. ZZ )
174		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> i < j )
175		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
176		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
177	168, 169, 170, 19, 171, 172, 173, 174, 175, 176	fourierdlem6 40330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( i x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ i < j ) -> j = ( i + 1 ) )
178	166, 177	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( j x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < j ) -> j = ( k + 1 ) )
179	142, 153, 178	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A [,] B ) ) /\ k < ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( k + 1 ) )
180	110, 116, 141, 179	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( k + 1 ) )
181	180	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( k + 1 ) x. T ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( x + ( ( k + 1 ) x. T ) ) )
183	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
184	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> T e. CC )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> T e. CC )
186	183, 185	adddirp1d 10066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( k + 1 ) x. T ) = ( ( k x. T ) + T ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( ( k + 1 ) x. T ) ) = ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) )
188	187	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( ( k + 1 ) x. T ) ) = ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) )
189	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( ( k + 1 ) x. T ) ) = ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) )
190	86	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> x e. CC )
192	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. CC )
193	184	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> T e. CC )
194	191, 192, 193	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) = ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) )
195	194	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) = ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) )
196	195	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( ( k x. T ) + T ) ) = ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) )
197		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x + ( k x. T ) ) = A -> ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) = ( A + T ) )
198	197	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) = ( A + T ) )
199	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> B e. CC )
200	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A e. CC )
201	199, 200, 184	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( B - A ) = T <-> ( A + T ) = B ) )
202	26, 201	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( A + T ) = B )
203	202	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( A + T ) = B )
204	198, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) + T ) = B )
205	189, 196, 204	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( ( k + 1 ) x. T ) ) = B )
206	98, 182, 205	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) = B )
207		fourierdlem51.bc	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. C )
208	207	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> B e. C )
209	206, 208	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) e. C )
210	209	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) e. C )
211		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ph /\ x e. RR ) )
212		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> k e. ZZ )
213		fourierdlem51.css	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> C C_ ( A [,] B ) )
214	213	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
215	214	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
216	215	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) )
218		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. ( x + ( k x. T ) ) = A -> ( x + ( k x. T ) ) =/= A )
219	218	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) =/= A )
220	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR )
221	211, 220	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> A e. RR )
222	211, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> B e. RR )
223		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> x e. RR )
224	223, 130	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. RR )
225	224	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. RR* )
226	211, 212, 225	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. RR* )
227	221, 222, 226	eliccelioc 39747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ( A [,] B ) /\ ( x + ( k x. T ) ) =/= A ) ) )
228	217, 219, 227	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) )
229	97	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
230	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> A e. RR )
231	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> B e. RR )
232	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> A < B )
233		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> x e. RR )
234	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
235		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> k e. ZZ )
236	97, 113	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A (,] B ) )
237	236	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. ( A (,] B ) )
238		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) )
239	230, 231, 232, 19, 233, 234, 235, 237, 238	fourierdlem35 40359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = k )
240	239	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( k x. T ) )
241	240	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
242	229, 241	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ ) /\ ( x + ( k x. T ) ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` x ) = ( x + ( k x. T ) ) )
243	211, 212, 228, 242	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) = ( x + ( k x. T ) ) )
244		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. C )
245	243, 244	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. ( x + ( k x. T ) ) = A ) -> ( E ` x ) e. C )
246	210, 245	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. ZZ /\ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) -> ( E ` x ) e. C )
247	246	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( k e. ZZ -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. C -> ( E ` x ) e. C ) ) )
248	78, 85, 247	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( k e. ZZ -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. C -> ( E ` x ) e. C ) ) )
249	76, 77, 248	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C -> ( E ` x ) e. C ) )
250	70, 249	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( E ` x ) e. C )
251	64, 250	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) e. C )
252		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } |-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) ) = ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } |-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) )
253	251, 252	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } |-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> C )
254		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
255	102, 4, 254	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
256	112, 255	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : RR --> RR )
257		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( ( A + X ) (,] ( B + X ) )
258	257, 81	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ RR )
259	256, 258	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> RR )
260	259	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) = ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } |-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) ) )
261	260	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> C <-> ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } |-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` x ) ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> C ) )
262	253, 261	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> C )
263		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ph )
264		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
265		fourierdlem51.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C }
266	264, 265	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> w e. H )
267	266	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> w e. H )
268	263, 267	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ( ph /\ w e. H ) )
269		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
270	269, 265	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> z e. H )
271	270	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> z e. H )
272		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) = ( E ` z ) )
273	272	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> ( E ` z ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) )
274	273	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ( E ` z ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) )
275		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) )
276	275	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) )
277	276	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) )
278		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( E ` w ) )
279	278	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( E ` w ) )
280	274, 277, 279	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` w ) )
281	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> A e. RR )
282	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> B e. RR )
283	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> A < B )
284	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> X e. RR )
285		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> w e. H )
286		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> z e. H )
287		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` w ) )
288	281, 282, 283, 284, 265, 19, 31, 285, 286, 287	fourierdlem19 40343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> -. w < z )
289	287	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> ( E ` w ) = ( E ` z ) )
290	281, 282, 283, 284, 265, 19, 31, 286, 285, 289	fourierdlem19 40343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> -. z < w )
291	265, 258	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H C_ RR )
292	291	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. H ) -> w e. RR )
293	292	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> w e. RR )
294	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. H ) -> H C_ RR )
295	294	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) -> z e. RR )
296	295	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> z e. RR )
297	293, 296	lttri3d 10177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> ( w = z <-> ( -. w < z /\ -. z < w ) ) )
298	288, 290, 297	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. H ) /\ z e. H ) /\ ( E ` z ) = ( E ` w ) ) -> w = z )
299	268, 271, 280, 298	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) ) -> w = z )
300	299	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) /\ z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> w = z ) )
301	300	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> A. z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> w = z ) )
302	301	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } A. z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> w = z ) )
303		dff13 6512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -1-1-> C <-> ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } --> C /\ A. w e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } A. z e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ( ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` w ) = ( ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ` z ) -> w = z ) ) )
304	262, 302, 303	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -1-1-> C )
305		f1fi 8253	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Fin /\ ( E |` { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) : { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -1-1-> C ) -> { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin )
306	62, 304, 305	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin )
307		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( A + X ) } e. Fin /\ { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin ) -> ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) e. Fin )
308	61, 306, 307	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) e. Fin )
309		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> ph )
310		elrabi 3359	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
311	310	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
312	67	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } <-> ( x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) )
313	312	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C )
314	313	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C )
315		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( A + X ) } <-> x = ( A + X ) )
316		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( A + X ) } -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
317	315, 316	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A + X ) -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
318	317	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ x = ( A + X ) ) -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
319	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
320	5	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
321	320	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
322	3, 5	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) C_ RR )
323	322	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> x e. RR )
324	323	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> x e. RR* )
325	324	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. RR* )
326	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> ( A + X ) e. RR )
327	323	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. RR )
328	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
329	320	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
330		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
331		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR* /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> ( A + X ) <_ x )
332	328, 329, 330, 331	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> ( A + X ) <_ x )
333	332	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> ( A + X ) <_ x )
334		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = ( A + X ) -> x =/= ( A + X ) )
335	334	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x =/= ( A + X ) )
336	326, 327, 333, 335	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> ( A + X ) < x )
337		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A + X ) e. RR* /\ ( B + X ) e. RR* /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> x <_ ( B + X ) )
338	328, 329, 330, 337	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) -> x <_ ( B + X ) )
339	338	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x <_ ( B + X ) )
340	319, 321, 325, 336, 339	eliocd 39730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
341	340	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) )
342		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C )
343	341, 342, 68	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } )
344		elun2 3781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
345	343, 344	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) /\ -. x = ( A + X ) ) -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
346	318, 345	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) ) /\ E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. C ) -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
347	309, 311, 314, 346	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) -> x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
348	347	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
349		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) <-> A. x e. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } x e. ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
350	348, 349	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) )
351		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) e. Fin /\ { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( { ( A + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) (,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) ) -> { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin )
352	308, 350, 351	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin )
353		unfi 8227	. . . . . 6 |- ( ( { ( A + X ) , ( B + X ) } e. Fin /\ { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } e. Fin ) -> ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) e. Fin )
354	60, 352, 353	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) e. Fin )
355	58, 354	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> D e. Fin )
356		prssi 4353	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + X ) e. RR /\ ( B + X ) e. RR ) -> { ( A + X ) , ( B + X ) } C_ RR )
357	3, 5, 356	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( A + X ) , ( B + X ) } C_ RR )
358		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ ( ( A + X ) [,] ( B + X ) )
359	358, 322	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } C_ RR )
360	357, 359	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ph -> ( { ( A + X ) , ( B + X ) } u. { y e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. C } ) C_ RR )
361	58, 360	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> D C_ RR )
362		fourierdlem51.f	. . . 4 |- F = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) , D ) )
363		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( # ` D ) - 1 ) = ( ( # ` D ) - 1 )
364	355, 361, 362, 363	fourierdlem36 40360	. . 3 |- ( ph -> F Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) , D ) )
365		isof1o 6573	. . . 4 |- ( F Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) , D ) -> F : ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) -1-1-onto-> D )
366		f1ofo 6144	. . . 4 |- ( F : ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) -1-1-onto-> D -> F : ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) -onto-> D )
367	365, 366	syl 17	. . 3 |- ( F Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) , D ) -> F : ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) -onto-> D )
368		forn 6118	. . 3 |- ( F : ( 0 ... ( ( # ` D ) - 1 ) ) -onto-> D -> ran F = D )
369	364, 367, 368	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ran F = D )
370	59, 369	eleqtrrd 2704	1 |- ( ph -> X e. ran F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   |_cfl 12591   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  fourierdlem113  40436