Theorem fourierdlem47 40370

Description: For r large enough, the final expression is less than the given positive E. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem47.ibl	|- ( ph -> ( x e. I |-> F ) e. L^1 )
fourierdlem47.iblmul	|- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
fourierdlem47.f	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
fourierdlem47.g	|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. CC ) -> G e. CC )
fourierdlem47.absg	|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. RR ) -> ( abs ` G ) <_ 1 )
fourierdlem47.a	|- ( ph -> A e. CC )
fourierdlem47.x	|- X = ( abs ` A )
fourierdlem47.c	|- ( ph -> C e. CC )
fourierdlem47.y	|- Y = ( abs ` C )
fourierdlem47.z	|- Z = S. I ( abs ` F ) _d x
fourierdlem47.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
fourierdlem47.b	|- ( ( ph /\ r e. CC ) -> B e. CC )
fourierdlem47.absb	|- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( abs ` B ) <_ 1 )
fourierdlem47.d	|- ( ( ph /\ r e. CC ) -> D e. CC )
fourierdlem47.absd	|- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( abs ` D ) <_ 1 )
fourierdlem47.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem47	|- ( ph -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   C, m   D, m   m, E   m, F   m, G   m, I, x   m, M, r, x   ph, r, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   A( x, r)   B( x, r)   C( x, r)   D( x, r)   E( x, r)   F( x, r)   G( x, r)   I( r)   X( x, m, r)   Y( x, m, r)   Z( x, m, r)

Proof of Theorem fourierdlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem47.m	. . 3 |- M = ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) + 1 )
2		fourierdlem47.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( abs ` A )
3		fourierdlem47.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
4	3	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
5	2, 4	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
6		fourierdlem47.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = ( abs ` C )
7		fourierdlem47.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. CC )
8	7	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
9	6, 8	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
10	5, 9	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X + Y ) e. RR )
11		fourierdlem47.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = S. I ( abs ` F ) _d x
12		fourierdlem47.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
13	12	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( abs ` F ) e. RR )
14		fourierdlem47.ibl	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. I |-> F ) e. L^1 )
15	12, 14	iblabs 23595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( abs ` F ) ) e. L^1 )
16	13, 15	itgrecl 23564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. I ( abs ` F ) _d x e. RR )
17	11, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. RR )
18	10, 17	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
19		fourierdlem47.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR+ )
20	19	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR )
21	19	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E =/= 0 )
22	18, 20, 21	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR )
23		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR )
25	24	flcld 12599	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. ZZ )
26		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
27		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
29		0lt1 10550	. . . . . . 7 |- 0 < 1
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < 1 )
31	3	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
32	31, 2	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ X )
33	7	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` C ) )
34	33, 6	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ Y )
35	5, 9, 32, 34	addge0d 10603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( X + Y ) )
36	12	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> 0 <_ ( abs ` F ) )
37	15, 13, 36	itgge0 23577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ S. I ( abs ` F ) _d x )
38	37, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ Z )
39	10, 17, 35, 38	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
40	18, 19, 39	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) )
41		flge0nn0 12621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) -> ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) e. NN0 )
42	22, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) e. NN0 )
43		nn0addge1 11339	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) e. NN0 ) -> 1 <_ ( 1 + ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) ) )
44	23, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) ) )
45		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
46		fladdz 12626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) )
47	22, 45, 46	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) )
48	42	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) e. CC )
49	23	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
50	48, 49	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) = ( 1 + ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) ) )
51	47, 50	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) ) = ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
52	44, 51	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 <_ ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
53	26, 23, 28, 30, 52	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
54		elnnz 11387	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. ZZ /\ 0 < ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) ) )
55	25, 53, 54	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. NN )
56	55	peano2nnd 11037	. . 3 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) + 1 ) e. NN )
57	1, 56	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
58		elioore 12205	. . . . 5 |- ( r e. ( M (,) +oo ) -> r e. RR )
59		fourierdlem47.iblmul	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
60	58, 59	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
61	12	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> F e. CC )
62		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ph )
63		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> x e. I )
64	58	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> r e. RR )
65	64	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> r e. CC )
66		fourierdlem47.g	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. CC ) -> G e. CC )
67	62, 63, 65, 66	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> G e. CC )
68	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> A e. CC )
69	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> C e. CC )
70		eqid 2622	. . . 4 |- ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
71	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> E e. RR+ )
72	58	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> r e. RR )
73	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` A ) = X
74	6	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` C ) = Y
75	73, 74	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) = ( X + Y )
76	75	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) = ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
77	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
78	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
79	77, 78	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
80	67	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> -u G e. CC )
81	61, 80	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( F x. -u G ) e. CC )
82	81, 60	itgcl 23550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> S. I ( F x. -u G ) _d x e. CC )
83	82	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. RR )
84	79, 83	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
85	76, 84	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
86	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> E e. RR )
87	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> E =/= 0 )
88	85, 86, 87	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) e. RR )
89		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
90	88, 89	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) + 1 ) e. RR )
91	2, 77	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> X e. RR )
92	6, 78	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> Y e. RR )
93	91, 92	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( X + Y ) e. RR )
94	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> Z e. RR )
95	93, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
96	95, 86, 87	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR )
97	96, 89	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR )
98	97, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
99	98, 89	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) + 1 ) e. RR )
100	1, 99	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> M e. RR )
101	81	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` ( F x. -u G ) ) e. RR )
102	81, 60	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( x e. I |-> ( abs ` ( F x. -u G ) ) ) e. L^1 )
103	101, 102	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> S. I ( abs ` ( F x. -u G ) ) _d x e. RR )
104	81, 60	itgabs 23601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) <_ S. I ( abs ` ( F x. -u G ) ) _d x )
105	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( x e. I |-> ( abs ` F ) ) e. L^1 )
106	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` F ) e. RR )
107	61, 80	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` ( F x. -u G ) ) = ( ( abs ` F ) x. ( abs ` -u G ) ) )
108	80	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` -u G ) e. RR )
109		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> 1 e. RR )
110	61	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( abs ` F ) )
111		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR -> r e. CC )
112	111, 66	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. RR ) -> G e. CC )
113	112	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. RR ) -> ( abs ` -u G ) = ( abs ` G ) )
114		fourierdlem47.absg	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. RR ) -> ( abs ` G ) <_ 1 )
115	113, 114	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ r e. RR ) -> ( abs ` -u G ) <_ 1 )
116	62, 63, 64, 115	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` -u G ) <_ 1 )
117	108, 109, 106, 110, 116	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( ( abs ` F ) x. ( abs ` -u G ) ) <_ ( ( abs ` F ) x. 1 ) )
118	106	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` F ) e. CC )
119	118	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( ( abs ` F ) x. 1 ) = ( abs ` F ) )
120	117, 119	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( ( abs ` F ) x. ( abs ` -u G ) ) <_ ( abs ` F ) )
121	107, 120	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) /\ x e. I ) -> ( abs ` ( F x. -u G ) ) <_ ( abs ` F ) )
122	102, 105, 101, 106, 121	itgle 23576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> S. I ( abs ` ( F x. -u G ) ) _d x <_ S. I ( abs ` F ) _d x )
123	122, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> S. I ( abs ` ( F x. -u G ) ) _d x <_ Z )
124	83, 103, 94, 104, 123	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) <_ Z )
125	83, 94, 93, 124	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
126	85, 95, 71, 125	lediv1dd 11930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) )
127		flltp1 12601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) )
128	96, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) )
129	96, 45, 46	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) ) + 1 ) )
130	128, 129	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
131	88, 96, 98, 126, 130	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) < ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
132	88, 98, 89, 131	ltadd1dd 10638	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) + 1 ) < ( ( |_ ` ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) + 1 ) )
133	132, 1	syl6breqr 4695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) + 1 ) < M )
134	100	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> M e. RR* )
135		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
137		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> r e. ( M (,) +oo ) )
138		ioogtlb 39717	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR* /\ +oo e. RR* /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> M < r )
139	134, 136, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> M < r )
140	90, 100, 72, 133, 139	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) + 1 ) < r )
141	90, 72, 140	ltled 10185	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( X + Y ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / E ) + 1 ) <_ r )
142	72	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> r e. CC )
143		fourierdlem47.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. CC ) -> B e. CC )
144	142, 143	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> B e. CC )
145		fourierdlem47.absb	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( abs ` B ) <_ 1 )
146	58, 145	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` B ) <_ 1 )
147		fourierdlem47.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. CC ) -> D e. CC )
148	142, 147	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> D e. CC )
149		fourierdlem47.absd	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( abs ` D ) <_ 1 )
150	58, 149	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` D ) <_ 1 )
151	60, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150	fourierdlem30 40354	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. ( M (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E )
152	151	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. r e. ( M (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E )
153		oveq1 6657	. . . 4 |- ( m = M -> ( m (,) +oo ) = ( M (,) +oo ) )
154	153	raleqdv 3144	. . 3 |- ( m = M -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E <-> A. r e. ( M (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E ) )
155	154	rspcev 3309	. 2 |- ( ( M e. NN /\ A. r e. ( M (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E ) -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E )
156	57, 152, 155	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / r ) ) - ( C x. -u ( D / r ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / r ) ) _d x ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   abscabs 13974   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40396