Theorem iserodd 15540

Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserodd.f	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> C e. CC )
iserodd.h	|- ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
iserodd	|- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> C ) ) ~~> A <-> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   B, k   C, n   k, n, ph

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( n)   C( k)

Proof of Theorem iserodd

Dummy variables i j m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		0zd 11389	. 2 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		1zzd 11408	. 2 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		2nn0 11309	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
7		nn0mulcl 11329	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( 2 x. m ) e. NN0 )
8	6, 7	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 2 x. m ) e. NN0 )
9		nn0p1nn 11332	. . . 4 |- ( ( 2 x. m ) e. NN0 -> ( ( 2 x. m ) + 1 ) e. NN )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 x. m ) + 1 ) e. NN )
11		eqid 2622	. . 3 |- ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) = ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) : NN0 --> NN )
13		nn0mulcl 11329	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. i ) e. NN0 )
14	6, 13	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. i ) e. NN0 )
15	14	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. i ) e. RR )
16		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN0 )
17		nn0mulcl 11329	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 x. ( i + 1 ) ) e. NN0 )
18	6, 16, 17	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. ( i + 1 ) ) e. NN0 )
19	18	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. ( i + 1 ) ) e. RR )
20		1red 10055	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> 1 e. RR )
21		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
23	22	ltp1d 10954	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i < ( i + 1 ) )
24	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( i + 1 ) e. NN0 )
25	24	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( i + 1 ) e. RR )
26		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> 2 e. RR )
28		2pos 11112	. . . . . . 7 |- 0 < 2
29	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> 0 < 2 )
30		ltmul2 10874	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR /\ ( i + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( 2 x. i ) < ( 2 x. ( i + 1 ) ) ) )
31	22, 25, 27, 29, 30	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( 2 x. i ) < ( 2 x. ( i + 1 ) ) ) )
32	23, 31	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 2 x. i ) < ( 2 x. ( i + 1 ) ) )
33	15, 19, 20, 32	ltadd1dd 10638	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( 2 x. i ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( i + 1 ) ) + 1 ) )
34		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = i -> ( 2 x. m ) = ( 2 x. i ) )
35	34	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = i -> ( ( 2 x. m ) + 1 ) = ( ( 2 x. i ) + 1 ) )
36		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( 2 x. i ) + 1 ) e. _V
37	35, 11, 36	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( i e. NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) = ( ( 2 x. i ) + 1 ) )
38	37	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) = ( ( 2 x. i ) + 1 ) )
39		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = ( i + 1 ) -> ( 2 x. m ) = ( 2 x. ( i + 1 ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = ( i + 1 ) -> ( ( 2 x. m ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( i + 1 ) ) + 1 ) )
41		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( i + 1 ) ) + 1 ) e. _V
42	40, 11, 41	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( ( i + 1 ) e. NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( i + 1 ) ) + 1 ) )
43	24, 42	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( i + 1 ) ) + 1 ) )
44	33, 38, 43	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) < ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` ( i + 1 ) ) )
45		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
46		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
47		0cnd 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ 2 || n ) -> 0 e. CC )
48		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
50		odd2np1 15065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. 2 || n <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) )
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> k e. ZZ )
53		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	53	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
55	54	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
56	54	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 0 <_ ( n - 1 ) )
57	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 2 e. RR )
58	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 0 < 2 )
59		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( n - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( n - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( n - 1 ) / 2 ) )
60	55, 56, 57, 58, 59	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 0 <_ ( ( n - 1 ) / 2 ) )
61		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( n - 1 ) )
63		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. CC
64		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> k e. CC )
66		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
67	63, 65, 66	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
68		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
69		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
70	67, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
71	62, 70	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( n - 1 ) = ( 2 x. k ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. k ) / 2 ) )
73		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 2 e. CC )
74		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 2 =/= 0 )
76	65, 73, 75	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( 2 x. k ) / 2 ) = k )
77	72, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = k )
78	60, 77	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> 0 <_ k )
79		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
80	52, 78, 79	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) ) -> k e. NN0 )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) -> k e. NN0 ) )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n )
83	82	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) -> n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) -> n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
85	81, 84	jcad 555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n ) -> ( k e. NN0 /\ n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
86	85	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = n -> E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
87	51, 86	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. 2 || n -> E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
88		iserodd.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> C e. CC )
89		iserodd.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> B = C )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
91	88, 90	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> B e. CC ) )
92	91	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> B e. CC ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> B e. CC ) )
94	87, 93	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. 2 || n -> B e. CC ) )
95	94	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. 2 || n ) -> B e. CC )
96	47, 95	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( 2 || n , 0 , B ) e. CC )
97		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) = ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) )
98	97	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ if ( 2 || n , 0 , B ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = if ( 2 || n , 0 , B ) )
99	46, 96, 98	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = if ( 2 || n , 0 , B ) )
100	45, 99	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = if ( 2 || n , 0 , B ) )
101		eldif 3584	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) <-> ( n e. NN /\ -. n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) )
102		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- n e. _V
103		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( 2 x. m ) = ( 2 x. k ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( ( 2 x. m ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
105	104	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
106	105	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. _V -> ( n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) <-> E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
107	102, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) <-> E. k e. NN0 n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
108	87, 107	syl6ibr 242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. 2 || n -> n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) )
109	108	con1d 139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) -> 2 || n ) )
110	109	impr 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> 2 || n )
111	101, 110	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> 2 || n )
112	111	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> if ( 2 || n , 0 , B ) = 0 )
113	100, 112	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = 0 )
114	113	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = 0 )
115		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = 0
116		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ n ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j )
117	116	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ n ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) = 0
118		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) )
119	118	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = 0 <-> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) = 0 ) )
120	115, 117, 119	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. n e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` n ) = 0 <-> A. j e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) = 0 )
121	114, 120	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) = 0 )
122	121	r19.21bi 2932	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ ran ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) = 0 )
123	96, 97	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) : NN --> CC )
124	123	ffvelrnda 6359	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` j ) e. CC )
125		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
126		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 |-> C ) = ( k e. NN0 |-> C )
127	126	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ C e. CC ) -> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = C )
128	125, 88, 127	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = C )
129		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. _V
130	104, 11, 129	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
133		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
134	6, 133	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
135		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
137		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
138		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
140		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. k ) )
141	137, 139, 140	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 || ( 2 x. k ) )
142	134	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
143		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN )
145		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 2
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 < 2 )
147		ndvdsp1 15135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. k ) e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ( 2 x. k ) -> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
148	142, 144, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 || ( 2 x. k ) -> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
149	141, 148	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
150	149	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) = C )
151	150, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) e. CC )
152		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> ( 2 || n <-> 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
153	152, 89	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> if ( 2 || n , 0 , B ) = if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) )
154	153, 97	fvmptg 6280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN /\ if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) )
155	136, 151, 154	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = if ( 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) , 0 , C ) )
156	132, 155, 150	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) = C )
157	128, 156	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) )
158	157	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) )
159		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) )
160		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i )
161	160	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ k ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) )
162		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) )
163		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) = ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) )
164	163	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) ) )
165	162, 164	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( k = i -> ( ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) <-> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) ) ) )
166	159, 161, 165	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. k e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> C ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` k ) ) <-> A. i e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) ) )
167	158, 166	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. i e. NN0 ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) ) )
168	167	r19.21bi 2932	. 2 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> C ) ` i ) = ( ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ` ( ( m e. NN0 |-> ( ( 2 x. m ) + 1 ) ) ` i ) ) )
169	1, 2, 3, 4, 12, 44, 122, 124, 168	isercoll2 14399	1 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> C ) ) ~~> A <-> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , B ) ) ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  atantayl3  24666  leibpilem2  24668