Theorem 4sqlem12 15660

Description: Lemma for 4sq 15668. For any odd prime P, there is a k < P such that k P - 1 is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sqlem11.5	|- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
4sqlem11.6	|- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem12	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   k, n, v, A   n, F   u, k, n, m, N, v   P, k, m, n, u, v   ph, k, m, n, u, v   S, k, m, n, u, v

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, u, m)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   F( x, y, z, w, v, u, k, m)   N( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem12

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sqlem11.5	. . . 4 |- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
6		4sqlem11.6	. . . 4 |- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	4sqlem11 15659	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ran F ) =/= (/) )
8		n0 3931	. . 3 |- ( ( A i^i ran F ) =/= (/) <-> E. j j e. ( A i^i ran F ) )
9	7, 8	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. j j e. ( A i^i ran F ) )
10		vex 3203	. . . . . . 7 |- j e. _V
11		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( u = j -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( u = j -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
13	10, 12, 5	elab2 3354	. . . . . 6 |- ( j e. A <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) )
14		abid 2610	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) )
15	5	rexeqi 3143	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) )
16		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( m ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
19	18	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
22	19, 21	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
23	22	rexab 3369	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
24	14, 15, 23	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
25	6	rnmpt 5371	. . . . . . . . 9 |- ran F = { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) }
26	25	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( j e. ran F <-> j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } )
27		rexcom4 3225	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
28		r19.41v 3089	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
29	28	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
30	27, 29	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
31	24, 26, 30	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
32		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. _V
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( ( P - 1 ) - v ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
35	32, 34	ceqsexv 3242	. . . . . . . 8 |- ( E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
36	35	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
37	31, 36	bitri 264	. . . . . 6 |- ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
38	13, 37	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( j e. A /\ j e. ran F ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
39		elin 3796	. . . . 5 |- ( j e. ( A i^i ran F ) <-> ( j e. A /\ j e. ran F ) )
40		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
41	38, 39, 40	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( j e. ( A i^i ran F ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
42		eqtr2 2642	. . . . . 6 |- ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
43	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. Prime )
44		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. NN )
46		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
48	47	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
49	45	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. RR+ )
50	47	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ ( P - 1 ) )
51	45	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. RR )
52	51	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) < P )
53		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( P - 1 ) /\ ( P - 1 ) < P ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
54	48, 49, 50, 52, 53	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
56		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
57		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ZZ )
59		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
61	60	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. RR )
62		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n ^ 2 ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
63	61, 49, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
64		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
66	65, 45	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 )
67	66	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ )
68		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
69	43, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. ZZ )
70		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
71	67, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
72	63, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) )
73	72, 54	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) )
74		modsubdir 12739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ ( n ^ 2 ) e. RR /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
75	48, 61, 49, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
76	73, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
77		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
78	55, 76, 77	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) )
79		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
80		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. ZZ )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ZZ )
82		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
84	47	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
85	84, 65	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ )
86		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ ( m ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
87	45, 83, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
88	78, 87	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
89		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
90	81, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
92	47	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
93	60	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
94	91, 92, 93	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) )
95	90, 60	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 )
96	95	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
97	45	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. CC )
98		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. CC )
99	96, 97, 98	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
100	94, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
101	88, 100	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
102		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
103	95, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
104	103	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
105		dvdssubr 15027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
106	69, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
107	101, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
108	45	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P =/= 0 )
109		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ P =/= 0 /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
110	69, 108, 104, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
111	107, 110	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ )
112		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ )
113		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
114		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
115	112, 113, 114	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN /\ P e. NN ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
116	103, 45, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
117	116	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
118		elnnz 11387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) ) )
119	111, 117, 118	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN )
120	119	nnge1d 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
121	95	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. RR )
122		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
123	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. NN )
124		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
125	122, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
126	125	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
127	126	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) e. RR )
128		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 2 x. N ) e. NN ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
129	122, 125, 128	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
130	129	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
131	127, 130	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
132		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. RR )
133	123	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. NN )
134		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
135	122, 133, 134	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
136	135	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. RR )
137	90	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. RR )
138	133	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. RR )
139	81	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. RR )
140		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ m )
141	79, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ m )
142	123	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. RR )
143		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m <_ N )
144	79, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m <_ N )
145		le2sq2 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( N e. RR /\ m <_ N ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
146	139, 141, 142, 144, 145	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
147	58	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. RR )
148		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ n )
149	56, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ n )
150		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n <_ N )
151	56, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n <_ N )
152		le2sq2 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) /\ ( N e. RR /\ n <_ N ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
153	147, 149, 142, 151, 152	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
154	137, 61, 138, 138, 146, 153	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
155	133	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
156	155	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) = ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
157	154, 156	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) )
158		2lt4 11198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < 4
159		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 2 e. RR )
161		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 4 e. RR )
163	133	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( N ^ 2 ) )
164		ltmul1 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( N ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( N ^ 2 ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
165	160, 162, 138, 163, 164	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
166	158, 165	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
167		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
168	123	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. CC )
169		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
170	167, 168, 169	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
171		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
172	171	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) )
173	170, 172	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
174	166, 173	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
175	121, 136, 127, 157, 174	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
176	129	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR+ )
177	127, 176	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
178	121, 127, 131, 175, 177	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
179	121, 131, 132, 178	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
180	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
181	180	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
182	97	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
183	125	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
184		binom21 12980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
186	181, 182, 185	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P x. P ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
187	179, 186	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) )
188	103	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR )
189	45	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < P )
190		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
191	188, 51, 51, 189, 190	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
192	187, 191	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P )
193		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
194		elfzm11 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
195	193, 69, 194	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
196	111, 120, 192, 195	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
197		gzreim 15643	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
198	81, 58, 197	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
199		gzcn 15636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
201	200	absvalsq2d 14182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
202	139, 147	crred 13971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = m )
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( m ^ 2 ) )
204	139, 147	crimd 13972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = n )
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
206	203, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
207	201, 206	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
208	207	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
209	103	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. CC )
210	209, 97, 108	divcan1d 10802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
211	208, 210	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
212		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( k x. P ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
213	212	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) <-> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
214		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) )
215	214	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) )
216	215	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) )
217	216	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) <-> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
218	213, 217	rspc2ev 3324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
219	196, 198, 211, 218	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
220	219	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
221	42, 220	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
222	221	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
223	41, 222	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
224	223	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. j j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
225	9, 224	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   || cdvds 14983   Primecprime 15385   ZZ[_i]cgz 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-gz 15634

This theorem is referenced by:  4sqlem13  15661