Theorem stirlinglem5 40295

Description: If T is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	|- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.2	|- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
stirlinglem5.3	|- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.4	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5	|- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
stirlinglem5.6	|- ( ph -> T e. RR+ )
stirlinglem5.7	|- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, j   T, j

Allowed substitution hints:   D( j)   E( j)   F( j)   G( j)   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables k i n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 |- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
5		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
6	5	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u 1 e. CC )
7		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
9	6, 8	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) e. CC )
10		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. CC )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
12		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
13	12	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T e. CC )
16		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
18	15, 17	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) e. CC )
19		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
21	9, 11, 18, 20	div32d 10824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
22	5, 15	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 1 + T ) - 1 ) = T )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T = ( ( 1 + T ) - 1 ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) = ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
26	21, 25	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
28	4, 27	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
29	28	seqeq3d 12809	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) )
30		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
31	30, 14	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. CC )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
34	30, 31, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
35		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 0 - T ) )
38	30, 30, 14	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 1 - ( 1 + T ) ) )
39		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u T = ( 0 - T )
40	39	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - T ) = -u T
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - T ) = -u T )
42	37, 38, 41	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 + T ) ) = -u T )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) = ( abs ` -u T ) )
44	14	absnegd 14188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) = ( abs ` T ) )
45		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )
46	44, 45	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) < 1 )
47	43, 46	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) < 1 )
48	34, 47	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 )
49		cnxmet 22576	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
51		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
52	51	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR* )
53		elbl2 22195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) ) -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
54	50, 52, 30, 31, 53	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
55	48, 54	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
57	56	logtayl2 24408	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
58	55, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
59	29, 58	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
60		seqex 12803	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
62		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 |- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
64	63	seqeq3d 12809	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
65		logtayl 24406	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ ( abs ` T ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
66	14, 45, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
67	64, 66	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
68		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
69	68, 1	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
71		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j - 1 ) = ( n - 1 ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( T ^ j ) = ( T ^ n ) )
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> j = n )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
76	72, 75	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
77	76	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
78		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
79	78	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
80		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
81	80	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
82		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
83	81, 82	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
84	79, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
85	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> T e. CC )
86	79	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN0 )
87	85, 86	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
88	79	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. CC )
89	79	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n =/= 0 )
90	87, 88, 89	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
91	84, 90	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
92	70, 77, 79, 91	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
93	92, 91	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) e. CC )
94		addcl 10018	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ i e. CC ) -> ( n + i ) e. CC )
95	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( n e. CC /\ i e. CC ) ) -> ( n + i ) e. CC )
96	69, 93, 95	seqcl 12821	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , D ) ` k ) e. CC )
97	62	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
98	75	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
99	97, 98, 79, 90	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
100	99, 90	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
101	69, 100, 95	seqcl 12821	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , E ) ` k ) e. CC )
102		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
103		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 |- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
105	76, 75	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
107		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
108	83	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
109	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T e. CC )
110	107	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
111	109, 110	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ^ n ) e. CC )
112	107	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
113	107	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
114	111, 112, 113	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
115	108, 114	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
116	115, 114	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
117	104, 106, 107, 116	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
118	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
119	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
120	118, 119, 107, 115	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( D ` n ) )
122	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
123	75	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
124	122, 123, 107, 114	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
125	124	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) = ( E ` n ) )
126	121, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
127	117, 126	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
128	102, 79, 127	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
129	69, 93, 100, 128	seradd 12843	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , D ) ` k ) + ( seq 1 ( + , E ) ` k ) ) )
130	1, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129	climadd 14362	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
131		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
132	131	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
133	132, 12	rpaddcld 11887	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. RR+ )
134	133	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + T ) =/= 0 )
135	31, 134	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 + T ) ) e. CC )
136	30, 14	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
137	13, 51	absltd 14168	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` T ) < 1 <-> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) ) )
138	45, 137	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) )
139	138	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < 1 )
140	13, 139	gtned 10172	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 =/= T )
141	30, 14, 140	subne0d 10401	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
142	136, 141	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 - T ) ) e. CC )
143	135, 142	negsubd 10398	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
144	130, 143	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
145		nn0uz 11722	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
146		0zd 11389	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
147		stirlinglem5.5	. . . . . 6 |- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
148		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> 2 e. NN0 )
150		id 22	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. NN0 )
151	149, 150	nn0mulcld 11356	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
152		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. j ) e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
153	151, 152	syl 17	. . . . . 6 |- ( j e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
154	147, 153	fmpti 6383	. . . . 5 |- G : NN0 --> NN
155	154	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G : NN0 --> NN )
156		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
157	156	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR )
158		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
159	157, 158	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. RR )
160		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. RR )
161	158, 160	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
162	157, 161	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
163		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR+ )
165	158	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k < ( k + 1 ) )
166	158, 161, 164, 165	ltmul2dd 11928	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) < ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
167	159, 162, 160, 166	ltadd1dd 10638	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
168	147	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
169		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> j = k )
170	169	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
172		id 22	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
173		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
174		nn0cn 11302	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
175	173, 174	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. CC )
176		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 1 e. CC )
177	175, 176	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
178	168, 171, 172, 177	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
179		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> j = ( k + 1 ) )
180	179	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
181	180	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
182		peano2nn0 11333	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
183	174, 176	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
184	173, 183	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. CC )
185	184, 176	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. CC )
186	168, 181, 182, 185	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
187	167, 178, 186	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
188	187	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
189		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. NN )
190	189	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN )
191		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 1 e. CC )
192	191	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u 1 e. CC )
193	189, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
194	192, 193	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
195	194	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
196	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> T e. CC )
197	190	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN0 )
198	196, 197	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
199	190	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. CC )
200	190	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n =/= 0 )
201	198, 199, 200	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
202	195, 201	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
203	202, 201	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
204	105, 103	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
205	190, 203, 204	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
206		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n e. ran G )
207		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
208		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
209	148, 208	num0h 11509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 )
210		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = 0 -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. 0 ) )
211	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = 0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) )
212	211	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 0 -> ( 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) )
213	212	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) -> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
214	207, 209, 213	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 )
215		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
216	147	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. CC -> ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
217	215, 216	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
218	214, 217	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ran G
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> 1 e. ran G )
220		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n e. ran G <-> 1 e. ran G ) )
221	219, 220	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n e. ran G )
222	206, 221	nsyl 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n = 1 )
223		nn1m1nn 11040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
224	189, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
225	224	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. n = 1 -> ( n - 1 ) e. NN ) )
226	222, 225	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN )
227		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j NN
228		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
229	147, 228	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j G
230	229	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ran G
231	227, 230	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( NN \ ran G )
232	231	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j n e. ( NN \ ran G )
233	147	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n e. ran G <-> E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
234	206, 233	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
235		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
236	234, 235	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
237	236	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
238	237	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> n =/= ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
239	238	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
240	239	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
241		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
242		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
243	189	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> n e. NN )
244	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR )
245		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
246	245	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. RR )
247	244, 246	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
248		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 0 e. RR )
249		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
250		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. CC )
251	246	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. CC )
252	250, 251	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) = ( j x. 2 ) )
253		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
254		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( j e. NN0 <-> ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
255	253, 254	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
256		nan 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) ) <-> ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j ) )
257	255, 256	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j )
258	257	anabss1 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 0 <_ j )
259	246, 248	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j < 0 <-> -. 0 <_ j ) )
260	258, 259	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j < 0 )
261	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
262	261	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
263		mulltgt0 39181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( j e. RR /\ j < 0 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
264	246, 260, 262, 263	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
265	252, 264	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) < 0 )
266	247, 248, 249, 265	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < ( 0 + 1 ) )
267		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
268	267	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 0 + 1 ) = 1 )
269	266, 268	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 )
270	247, 249	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
271	270, 249	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
272	269, 271	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
273		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
274	272, 273	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
275	274	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
276		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
277		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> n e. NN )
278	276, 277	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
279	278	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
280	275, 279	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
281	280	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
282	241, 242, 243, 281	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
283	240, 282	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
284	283	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
285	284	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( j e. ZZ -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
286	232, 285	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
287		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n <-> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
288	286, 287	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
289	189	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. ZZ )
290		odd2np1 15065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
292	288, 291	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. -. 2 || n )
293	292	notnotrd 128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || n )
294	189	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. CC )
295	294, 191	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
296	293, 295	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) )
297	193	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
298		oddp1even 15068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
299	297, 298	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
300	296, 299	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. 2 || ( n - 1 ) )
301		oexpneg 15069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( n - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
302	191, 226, 300, 301	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
303		1exp 12889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
304	297, 303	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
305	304	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
306	302, 305	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
307	306	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
308	307	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
309	308	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
310	201	mulm1d 10482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = -u ( ( T ^ n ) / n ) )
311	310	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
312	201	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> -u ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
313	312, 201	addcomd 10238	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) )
314	201	negidd 10382	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
315	311, 313, 314	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
316	205, 309, 315	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
317	117, 116	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. CC )
318	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
319		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
320	319	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( j - 1 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) )
321	320	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) )
322	319	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( T ^ j ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
323	322, 319	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
324	321, 323	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
325	324, 323	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
326	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
327		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
328	326, 327	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
329		nn0p1nn 11332	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
330	328, 329	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
331	176	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> -u 1 e. CC )
332	175, 176	pncand 10393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
333	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> 2 e. NN0 )
334	333, 172	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
335	332, 334	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
336	331, 335	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
337	336	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
338	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> T e. CC )
339	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
340	328, 339	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
341	338, 340	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
342		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
343	174	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
344	342, 343	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
345		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
346	344, 345	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
347		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. RR )
348	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
349	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
350	348, 349	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
351		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
352		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
353	352	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ 2 )
354	327	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
355	348, 349, 353, 354	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 2 x. k ) )
356		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < 1 )
358	350, 351, 355, 357	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
359	347, 358	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
360	341, 346, 359	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
361	337, 360	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
362	361, 360	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
363	318, 325, 330, 362	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
364	332	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
365	364	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) )
366		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
367		m1expeven 12907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
368	366, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
369	368	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
370	365, 369	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = 1 )
371	370	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
372	360	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
373	371, 372	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
374	373	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
375	360	2timesd 11275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
376	341, 346, 359	divrec2d 10805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
377	376	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
378	374, 375, 377	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
379	363, 378	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
380		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
381	380	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) ) )
382		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
383	382	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
384	383	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
385	384	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
386	384	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
387	385, 386	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
388	387	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
389	346, 359	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
390	389, 341	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
391	342, 390	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
392	381, 388, 327, 391	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
393	208	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. NN0 )
394	334, 393	nn0addcld 11355	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
395	168, 171, 172, 394	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
396	395	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
397	396	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
398	379, 392, 397	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
399	145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398	isercoll2 14399	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) ) )
400	144, 399	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
401	51, 13	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
402	14	subidd 10380	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T - T ) = 0 )
403	402	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( T - T ) )
404	13, 51, 13, 139	ltsub1dd 10639	. . . . 5 |- ( ph -> ( T - T ) < ( 1 - T ) )
405	403, 404	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
406	401, 405	elrpd 11869	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR+ )
407	133, 406	relogdivd 24372	. 2 |- ( ph -> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
408	400, 407	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   || cdvds 14983   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  40296