Theorem iblspltprt 40189

Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblspltprt.1	|- F/ t ph
iblspltprt.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iblspltprt.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
iblspltprt.4	|- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
iblspltprt.5	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
iblspltprt.6	|- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
iblspltprt.7	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblspltprt	|- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   A, i   i, M, t   i, N, t   P, i, t   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)

Proof of Theorem iblspltprt

Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblspltprt.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzelz 11697	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		eluzle 11700	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ N )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) <_ N )
6	3	zred 11482	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
7	6	leidd 10594	. . 3 |- ( ph -> N <_ N )
8		iblspltprt.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	peano2zd 11485	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
10		elfz1 12331	. . . 4 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
11	9, 3, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
12	3, 5, 7, 11	mpbir3and 1245	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
15	14	mpteq1d 4738	. . . . 5 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
16	15	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
17	16	imbi2d 330	. . 3 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( P ` j ) = ( P ` k ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) )
20	19	mpteq1d 4738	. . . . 5 |- ( j = k -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
22	21	imbi2d 330	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
25	24	mpteq1d 4738	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
27	26	imbi2d 330	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( P ` j ) = ( P ` N ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
30	29	mpteq1d 4738	. . . . 5 |- ( j = N -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
32	31	imbi2d 330	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
33		uzid 11702	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
34	8, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
36		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
37	35, 36	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
38	35	ltp1d 10954	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
39	35, 37, 6, 38, 5	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ph -> M < N )
40		elfzo2 12473	. . . . . 6 |- ( M e. ( M..^ N ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
41	34, 3, 39, 40	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M..^ N ) )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` i ) = ( P ` M ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = M -> ( i + 1 ) = ( M + 1 ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
45	42, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
46	45	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( i = M -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( i = M -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
48	47	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( i = M -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
49		iblspltprt.7	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
50	49	expcom 451	. . . . . 6 |- ( i e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
51	48, 50	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( M e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
52	41, 51	mpcom 38	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
53	52	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
54		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ t k e. ( ( M + 1 )..^ N )
55		iblspltprt.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
56		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A )
57	56	nfel1 2779	. . . . . . 7 |- F/ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1
58	55, 57	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ t ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
59	54, 58, 55	nf3an 1831	. . . . 5 |- F/ t ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph )
60		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ph )
61		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
62	35	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ M )
63	35, 6, 39	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ N )
64		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
65	8, 3, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
66	8, 62, 63, 65	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
67	66	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) )
68		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = M -> ( i e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
69	68	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) ) )
70	42	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` M ) e. RR ) )
71	69, 70	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) ) )
72		iblspltprt.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
73	71, 72	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) )
74	66, 67, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR )
76	75	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
77		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ph )
78		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ZZ )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ZZ )
80	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M e. RR )
81	79	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. RR )
82	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
83	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( M + 1 ) )
84		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( M + 1 ) <_ k )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) <_ k )
86	80, 82, 81, 83, 85	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < k )
87	80, 81, 86	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ k )
88	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. RR )
89		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k < N )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k < N )
91	81, 88, 90	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k <_ N )
92	8, 3	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
94		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
96	79, 87, 91, 95	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
97		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M ... N ) <-> k e. ( M ... N ) ) )
98	97	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` i ) = ( P ` k ) )
100	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
101	98, 100	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) ) )
102	101, 72	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
103	77, 96, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
104	103	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR* )
105	79	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
106	105	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
107		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> 1 e. RR )
108	80, 81, 107, 86	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) < ( k + 1 ) )
109	80, 82, 106, 83, 108	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( k + 1 ) )
110	80, 106, 109	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ ( k + 1 ) )
111		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
112	78, 3, 111	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
113	90, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
114		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
115	93, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
116	105, 110, 113, 115	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
117	77, 116	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
118		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
119	118	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
121	120	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
122	119, 121	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
123	122, 72	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
124	116, 117, 123	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
125	124	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
126		eluz 11701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
127	8, 78, 126	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
128	87, 127	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
129		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ph )
130		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ZZ )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ZZ )
132		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> M <_ i )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> M <_ i )
134	131	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. RR )
135	129, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> N e. RR )
136	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k e. RR )
137		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i <_ k )
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ k )
139	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k < N )
140	134, 136, 135, 138, 139	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i < N )
141	134, 135, 140	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ N )
142		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
143	129, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
144	131, 133, 141, 143	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ( M ... N ) )
145	129, 144, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
146		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
147		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ZZ )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
149		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ i )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ i )
151	148	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. RR )
152	146, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. RR )
153	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> k e. RR )
154		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
155	153, 154	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
156		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
158	78	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. RR )
159		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> 1 e. RR )
160	158, 159	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) e. RR )
161		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ZZ )
162	161	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. RR )
163	158	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < k )
164	160, 158, 162, 163, 89	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < N )
165	164	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) < N )
166	151, 155, 152, 157, 165	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i < N )
167	151, 152, 166	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ N )
168	146, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
169	148, 150, 167, 168	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
170	146, 169, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
171	148	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
172		elfzel1 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. ZZ )
173	172	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. RR )
174	147	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. RR )
175		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> 1 e. RR )
176	174, 175	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
177	174	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i < ( i + 1 ) )
178	173, 174, 176, 149, 177	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M < ( i + 1 ) )
179	173, 176, 178	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
181	146, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
182		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
183	148, 181, 182	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
184	166, 183	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
185		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
186	146, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
187	171, 180, 184, 186	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
188	146, 187	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
189		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
190	189	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
191		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( P ` k ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
192	191	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( P ` k ) e. RR <-> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
193	190, 192	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) ) )
194	193, 102	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
195	187, 188, 194	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
196		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
197	196	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
198		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M..^ N ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ i < N ) )
199	197, 181, 166, 198	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
200		iblspltprt.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
201	146, 199, 200	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
202	170, 195, 201	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
203	128, 145, 202	monoord 12831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) <_ ( P ` k ) )
204	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ZZ )
205		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ k < N ) )
206	128, 204, 90, 205	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
207		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M..^ N ) ) )
208	207	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) ) )
209		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
210	209	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
211	99, 210	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
212	208, 211	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
213	212, 200	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
214	77, 206, 213	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
215	103, 124, 214	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
216		iccintsng 39749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` k ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( P ` M ) <_ ( P ` k ) /\ ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
217	76, 104, 125, 203, 215, 216	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
218	217	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( vol* ` { ( P ` k ) } ) )
219		ovolsn 23263	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` k ) e. RR -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
220	103, 219	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
221	218, 220	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
222	60, 61, 221	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
223	75, 124, 103, 203, 215	eliccd 39726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
224	75, 124, 223	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
225	60, 61, 224	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
226		iccsplit 12305	. . . . . 6 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
227	225, 226	syl 17	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
228		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
229		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
230		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
231		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
232		eliccxr 39737	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR* )
233	232	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR* )
234	74	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR* )
235	234	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
236	125	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
237		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
238		iccgelb 12230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
239	235, 236, 237, 238	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
240	75, 124	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
241	240	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
242		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
243	242	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR ) )
244	241, 237, 243	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
245	124	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
246		elfz1 12331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
247	8, 3, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
248	3, 63, 7, 247	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
249	248	ancli 574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) )
250		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
251	250	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) ) )
252		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( P ` i ) = ( P ` N ) )
253	252	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` N ) e. RR ) )
254	251, 253	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) ) )
255	254, 72	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) )
256	3, 249, 255	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` N ) e. RR )
257	256	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR )
258		elicc1 12219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
259	235, 236, 258	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
260	237, 259	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
261	260	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
262		elfzop1le2 39502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
263	78	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
264		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
265	263, 161, 264	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
266	262, 265	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
267	266	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
268		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ph )
269		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. ZZ )
270	269	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ZZ )
271	268, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
272	270	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
273	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
274	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < k )
275	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
276		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> 1 e. RR )
277	275, 276	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
278	269	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. RR )
279	278	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
280	275	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
281		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> ( k + 1 ) <_ i )
282	281	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
283	275, 277, 279, 280, 282	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
284	283	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
285	271, 273, 272, 274, 284	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < i )
286	271, 272, 285	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M <_ i )
287		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i <_ N )
288	287	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i <_ N )
289	268, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
290	270, 286, 288, 289	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ( M ... N ) )
291	268, 290, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
292		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ph )
293		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. ZZ )
294	293	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
295	292, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. RR )
296	294	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
297	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
298	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < k )
299	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
300		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
301	299, 300	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
302	293	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. RR )
303	302	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
304	299	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( k + 1 ) )
305		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
306	305	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
307	299, 301, 303, 304, 306	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
308	307	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
309	295, 297, 296, 298, 308	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < i )
310	295, 296, 309	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ i )
311	302	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
312	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
313		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
314	312, 313	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
315		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
316	315	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
317	312	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) < N )
318	311, 314, 312, 316, 317	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
319	311, 312, 318	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
320	319	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
321	292, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
322	294, 310, 320, 321	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
323	292, 322, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
324	294	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
325	324	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
326	303, 300	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
327	299, 303, 307	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k <_ i )
328	299, 303, 300, 327	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( i + 1 ) )
329	299, 301, 326, 304, 328	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
330	329	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
331	295, 297, 325, 298, 330	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < ( i + 1 ) )
332	295, 325, 331	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
333	293, 3, 182	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
334	318, 333	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
335	334	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
336	292, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
337	324, 332, 335, 336	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
338	292, 337	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
339	337, 338, 194	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
340	292, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
341		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
342	340, 294, 341	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
343	310, 342	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
344	292, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
345	318	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
346	343, 344, 345, 198	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
347	292, 346, 200	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
348	323, 339, 347	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
349	267, 291, 348	monoord 12831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
350	349	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
351	244, 245, 257, 261, 350	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` N ) )
352	257	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR* )
353		elicc1 12219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` N ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
354	235, 352, 353	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
355	233, 239, 351, 354	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
356		iblspltprt.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
357	231, 355, 356	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
358	228, 229, 230, 357	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
359		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
360	60, 359	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
361	60, 61	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
362	77, 206	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) )
363	99, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
364	363	mpteq1d 4738	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
365	364	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
366	208, 365	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
367	366, 49	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
368	361, 362, 367	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
369	59, 222, 227, 358, 360, 368	iblsplitf 40186	. . . 4 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
370	369	3exp 1264	. . 3 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
371	17, 22, 27, 32, 53, 370	fzind2 12586	. 2 |- ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
372	12, 371	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   vol*covol 23231   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  itgspltprt  40195  fourierdlem69  40392