Theorem dirkercncflem1 40320

Description: If Y is a multiple of pi then it belongs to an open inerval ( A (,) B ) such that for any other point y in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkercncflem1.a	|- A = ( Y - pi )
dirkercncflem1.b	|- B = ( Y + pi )
dirkercncflem1.y	|- ( ph -> Y e. RR )
dirkercncflem1.ymod0	|- ( ph -> ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
dirkercncflem1	|- ( ph -> ( Y e. ( A (,) B ) /\ A. y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ( ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 /\ ( cos ` ( y / 2 ) ) =/= 0 ) ) )

Distinct variable groups:   y, Y   ph, y

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)

Proof of Theorem dirkercncflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncflem1.a	. . . 4 |- A = ( Y - pi )
2		dirkercncflem1.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
3		pire 24210	. . . . . . 7 |- pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. RR )
5	2, 4	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y - pi ) e. RR )
6	5	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - pi ) e. RR* )
7	1, 6	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
8		dirkercncflem1.b	. . . 4 |- B = ( Y + pi )
9	2, 4	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y + pi ) e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( Y + pi ) e. RR* )
11	8, 10	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
12		pipos 24212	. . . . . 6 |- 0 < pi
13		ltsubpos 10520	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ Y e. RR ) -> ( 0 < pi <-> ( Y - pi ) < Y ) )
14	12, 13	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ Y e. RR ) -> ( Y - pi ) < Y )
15	4, 2, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - pi ) < Y )
16	1, 15	syl5eqbr 4688	. . 3 |- ( ph -> A < Y )
17		ltaddpos 10518	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ Y e. RR ) -> ( 0 < pi <-> Y < ( Y + pi ) ) )
18	12, 17	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ Y e. RR ) -> Y < ( Y + pi ) )
19	4, 2, 18	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> Y < ( Y + pi ) )
20	19, 8	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ph -> Y < B )
21	7, 11, 2, 16, 20	eliood 39720	. 2 |- ( ph -> Y e. ( A (,) B ) )
22		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) -> y e. ( A (,) B ) )
23	22	elioored 39776	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) -> y e. RR )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> y e. RR )
25	24	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> y e. CC )
26		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> 2 e. CC )
27		picn 24211	. . . . . . . . 9 |- pi e. CC
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> pi e. CC )
29		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> 2 =/= 0 )
31	3, 12	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . 9 |- pi =/= 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> pi =/= 0 )
33	25, 26, 28, 30, 32	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( y / 2 ) / pi ) = ( y / ( 2 x. pi ) ) )
34		dirkercncflem1.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
35		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
37		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR+
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi e. RR+ )
39	36, 38	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
40		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ ) -> ( ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
41	2, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
42	34, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
43		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. ZZ )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. ZZ )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. ZZ )
46	44	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. RR )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. RR )
48	1, 5	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
49	48, 39	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( A / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
51	39	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
53	39	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
55	24, 52, 54	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
56	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. CC )
57	56, 53	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = 1 )
58	57	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 = ( ( 2 x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - ( ( 2 x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
60	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. CC )
61	60, 56, 56, 53	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - ( ( 2 x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
62	59, 61	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) = ( ( Y - ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
63	2, 51	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
64	27	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 x. pi ) = pi
65	64	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- pi = ( 1 x. pi )
66		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 < 2
67		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR
68		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
69	67, 68, 3, 12	ltmul1ii 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 < 2 <-> ( 1 x. pi ) < ( 2 x. pi ) )
70	66, 69	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 x. pi ) < ( 2 x. pi )
71	65, 70	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi < ( 2 x. pi )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> pi < ( 2 x. pi ) )
73	4, 51, 2, 72	ltsub2dd 10640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y - ( 2 x. pi ) ) < ( Y - pi ) )
74	73, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( 2 x. pi ) ) < A )
75	63, 48, 39, 74	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - ( 2 x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) < ( A / ( 2 x. pi ) ) )
76	62, 75	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) < ( A / ( 2 x. pi ) ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) < ( A / ( 2 x. pi ) ) )
78	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> A e. RR )
79	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
80	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
81	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> A e. RR* )
82	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> B e. RR* )
83		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y e. ( A (,) B ) <-> ( y e. RR /\ A < y /\ y < B ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y e. ( A (,) B ) <-> ( y e. RR /\ A < y /\ y < B ) ) )
85	80, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y e. RR /\ A < y /\ y < B ) )
86	85	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> A < y )
87	78, 24, 79, 86	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( A / ( 2 x. pi ) ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) )
88	47, 50, 55, 77, 87	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) )
90	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> y e. RR )
91	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> Y e. RR )
92	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
93		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> y < Y )
94	90, 91, 92, 93	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
95	60, 56, 53	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. CC )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. CC )
97		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> 1 e. CC )
98	96, 97	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) + 1 ) = ( Y / ( 2 x. pi ) ) )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) + 1 ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) + 1 ) )
101	94, 100	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) + 1 ) )
102		btwnnz 11453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) /\ ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) - 1 ) + 1 ) ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
103	45, 89, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y < Y ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
104	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
105	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> Y e. RR )
106	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> y e. RR )
107	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
108	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y <_ Y ) -> y e. RR )
109	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y <_ Y ) -> Y e. RR )
110		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y <_ Y ) -> y <_ Y )
111		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) -> y =/= Y )
112	111	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) -> Y =/= y )
113	112	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y <_ Y ) -> Y =/= y )
114	108, 109, 110, 113	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ y <_ Y ) -> y < Y )
115	114	stoic1a 1697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> -. y <_ Y )
116	105, 106	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> ( Y < y <-> -. y <_ Y ) )
117	115, 116	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> Y < y )
118	105, 106, 107, 117	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) )
119	8, 9	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR )
120	119, 39	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( B / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
122	2, 39	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
124		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> 1 e. RR )
125	123, 124	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) e. RR )
126	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> B e. RR )
127	85	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> y < B )
128	24, 126, 79, 127	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( B / ( 2 x. pi ) ) )
129	8	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B / ( 2 x. pi ) ) = ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) )
130	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> pi e. CC )
131	60, 130, 56, 53	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( pi / ( 2 x. pi ) ) ) )
132	4, 39	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
133		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. RR )
134		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
135	134, 27	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. pi ) = ( pi x. 2 )
136	135	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi / ( 2 x. pi ) ) = ( pi / ( pi x. 2 ) )
137	27, 31	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi e. CC /\ pi =/= 0 )
138		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
139		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( pi e. CC /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( pi / pi ) / 2 ) = ( pi / ( pi x. 2 ) ) )
140	27, 137, 138, 139	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( pi / pi ) / 2 ) = ( pi / ( pi x. 2 ) )
141	27, 31	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi / pi ) = 1
142	141	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( pi / pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
143	136, 140, 142	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / ( 2 x. pi ) ) = ( 1 / 2 )
144		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 2 ) < 1
145	143, 144	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / ( 2 x. pi ) ) < 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi / ( 2 x. pi ) ) < 1 )
147	132, 133, 122, 146	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( pi / ( 2 x. pi ) ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
148	131, 147	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
149	129, 148	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( B / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
151	55, 121, 125, 128, 150	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
153		btwnnz 11453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( y / ( 2 x. pi ) ) /\ ( y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
154	104, 118, 152, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) /\ -. y < Y ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
155	103, 154	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
156	33, 155	eqneltrd 2720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ )
157	25	halfcld 11277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
158		sineq0 24273	. . . . . . 7 |- ( ( y / 2 ) e. CC -> ( ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ ) )
159	157, 158	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( y / 2 ) / pi ) e. ZZ ) )
160	156, 159	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( sin ` ( y / 2 ) ) = 0 )
161	160	neqned 2801	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 )
162	33	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( ( y / 2 ) / pi ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
163	42	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
164	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A = ( Y - pi ) )
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A + pi ) = ( ( Y - pi ) + pi ) )
166	60, 130	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - pi ) + pi ) = Y )
167	165, 166	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y = ( A + pi ) )
168	167	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) = ( ( A + pi ) / ( 2 x. pi ) ) )
169	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
170	169, 130, 56, 53	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A + pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( pi / ( 2 x. pi ) ) ) )
171	130	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. 1 ) = pi )
172	171	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi = ( pi x. 1 ) )
173		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
174	173, 130	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) = ( pi x. 2 ) )
175	172, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi / ( 2 x. pi ) ) = ( ( pi x. 1 ) / ( pi x. 2 ) ) )
176		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
177	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
178	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi =/= 0 )
179	176, 173, 130, 177, 178	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( pi x. 1 ) / ( pi x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
180	175, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( pi / ( 2 x. pi ) ) = ( 1 / 2 ) )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( pi / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
182	168, 170, 181	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) = ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) = ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
184	124	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
185	50, 55, 184, 87	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( A / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
186	183, 185	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
187	55, 121, 184, 128	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( B / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
188	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B / ( 2 x. pi ) ) = ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) )
189	188	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
190	180	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( pi / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
191	131, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
192	191	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( Y + pi ) / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
193	176	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
194	95, 193, 193	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
195	176	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
197	194, 196	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
198	189, 192, 197	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( B / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
200	187, 199	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) )
201		btwnnz 11453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( 2 x. pi ) ) < ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( Y / ( 2 x. pi ) ) + 1 ) ) -> -. ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
202	163, 186, 200, 201	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( ( y / ( 2 x. pi ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
203	162, 202	eqneltrd 2720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( ( ( y / 2 ) / pi ) + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
204		coseq0 40075	. . . . . . 7 |- ( ( y / 2 ) e. CC -> ( ( cos ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( y / 2 ) / pi ) + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ ) )
205	157, 204	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( cos ` ( y / 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( y / 2 ) / pi ) + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ ) )
206	203, 205	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> -. ( cos ` ( y / 2 ) ) = 0 )
207	206	neqned 2801	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( cos ` ( y / 2 ) ) =/= 0 )
208	161, 207	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ) -> ( ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 /\ ( cos ` ( y / 2 ) ) =/= 0 ) )
209	208	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ( ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 /\ ( cos ` ( y / 2 ) ) =/= 0 ) )
210	21, 209	jca 554	1 |- ( ph -> ( Y e. ( A (,) B ) /\ A. y e. ( ( A (,) B ) \ { Y } ) ( ( sin ` ( y / 2 ) ) =/= 0 /\ ( cos ` ( y / 2 ) ) =/= 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   mod cmo 12668   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  40322