Theorem m2detleiblem3 20435

Description: Lemma 3 for m2detleib 20437. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	|- N = { 1 , 2 }
m2detleiblem2.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
m2detleiblem2.a	|- A = ( N Mat R )
m2detleiblem2.b	|- B = ( Base ` A )
m2detleiblem2.g	|- G = (mulGrp ` R )
m2detleiblem3.m	|- .x. = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem3	|- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) = ( ( 1 M 1 ) .x. ( 2 M 2 ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   Q, n   R, n

Allowed substitution hints:   A( n)   .x. ( n)   G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	mgpbas 18495	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` G )
4		m2detleiblem3.m	. . 3 |- .x. = ( +g ` G )
5		fvex 6201	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2697	. . . 4 |- G e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> G e. _V )
8		1ex 10035	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
9		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
10		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } e. _V
11	10	prid1 4297	. . . . . . . 8 |- { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
13		m2detleiblem2.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
14		m2detleiblem2.n	. . . . . . . . 9 |- N = { 1 , 2 }
15	12, 13, 14	symg2bas 17818	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
16	11, 15	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } e. P )
17	8, 9, 16	mp2an 708	. . . . . 6 |- { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } e. P
18		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( Q e. P <-> { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } e. P ) )
19	17, 18	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> Q e. P )
20		m2detleiblem2.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
21	14	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( N Mat R ) = ( { 1 , 2 } Mat R )
22	20, 21	eqtri 2644	. . . . . 6 |- A = ( { 1 , 2 } Mat R )
23		m2detleiblem2.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
24	14	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` { 1 , 2 } )
25	24	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` { 1 , 2 } ) )
26	13, 25	eqtri 2644	. . . . . 6 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` { 1 , 2 } ) )
27	22, 23, 26	matepmcl 20268	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P /\ M e. B ) -> A. n e. { 1 , 2 } ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
28	19, 27	syl3an2 1360	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> A. n e. { 1 , 2 } ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
29		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( N = { 1 , 2 } -> ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) = ( n e. { 1 , 2 } |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) )
30	14, 29	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) = ( n e. { 1 , 2 } |-> ( ( Q ` n ) M n ) )
31	30	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. n e. { 1 , 2 } ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) <-> ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) : { 1 , 2 } --> ( Base ` R ) )
32	28, 31	sylib 208	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) : { 1 , 2 } --> ( Base ` R ) )
33	3, 4, 7, 32	gsumpr12val 17282	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) = ( ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 1 ) .x. ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 2 ) ) )
34	8	prid1 4297	. . . . . 6 |- 1 e. { 1 , 2 }
35	34, 14	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- 1 e. N
36	20, 23, 13	matepmcl 20268	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P /\ M e. B ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
37	19, 36	syl3an2 1360	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( Q ` n ) = ( Q ` 1 ) )
39		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> n = 1 )
40	38, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( ( Q ` n ) M n ) = ( ( Q ` 1 ) M 1 ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( Q ` 1 ) M 1 ) e. ( Base ` R ) ) )
42	41	rspcva 3307	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. N /\ A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( Q ` 1 ) M 1 ) e. ( Base ` R ) )
43	35, 37, 42	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( Q ` 1 ) M 1 ) e. ( Base ` R ) )
44		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) = ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) )
45	40, 44	fvmptg 6280	. . . . 5 |- ( ( 1 e. N /\ ( ( Q ` 1 ) M 1 ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 1 ) = ( ( Q ` 1 ) M 1 ) )
46	35, 43, 45	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 1 ) = ( ( Q ` 1 ) M 1 ) )
47		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( Q ` 1 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 1 ) )
48		1ne2 11240	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
49	8, 8	fvpr1 6456	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 1 ) = 1 )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 1 ) = 1
51	47, 50	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( Q ` 1 ) = 1 )
52	51	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( Q ` 1 ) = 1 )
53	52	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( Q ` 1 ) M 1 ) = ( 1 M 1 ) )
54	46, 53	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 1 ) = ( 1 M 1 ) )
55		2ex 11092	. . . . . . 7 |- 2 e. _V
56	55	prid2 4298	. . . . . 6 |- 2 e. { 1 , 2 }
57	56, 14	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- 2 e. N
58		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = 2 -> ( Q ` n ) = ( Q ` 2 ) )
59		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( n = 2 -> n = 2 )
60	58, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = 2 -> ( ( Q ` n ) M n ) = ( ( Q ` 2 ) M 2 ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( n = 2 -> ( ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( Q ` 2 ) M 2 ) e. ( Base ` R ) ) )
62	61	rspcva 3307	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. N /\ A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( Q ` 2 ) M 2 ) e. ( Base ` R ) )
63	57, 37, 62	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( Q ` 2 ) M 2 ) e. ( Base ` R ) )
64	60, 44	fvmptg 6280	. . . . 5 |- ( ( 2 e. N /\ ( ( Q ` 2 ) M 2 ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 2 ) = ( ( Q ` 2 ) M 2 ) )
65	57, 63, 64	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 2 ) = ( ( Q ` 2 ) M 2 ) )
66		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( Q ` 2 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 2 ) )
67	55, 55	fvpr2 6457	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 2 ) = 2 )
68	48, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ` 2 ) = 2
69	66, 68	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( Q ` 2 ) = 2 )
70	69	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( Q ` 2 ) = 2 )
71	70	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( Q ` 2 ) M 2 ) = ( 2 M 2 ) )
72	65, 71	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 2 ) = ( 2 M 2 ) )
73	54, 72	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 1 ) .x. ( ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ` 2 ) ) = ( ( 1 M 1 ) .x. ( 2 M 2 ) ) )
74	33, 73	eqtrd 2656	1 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } /\ M e. B ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) = ( ( 1 M 1 ) .x. ( 2 M 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020   2c2 11070   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-symg 17798  df-mgp 18490  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  m2detleib  20437