Theorem mapdin 36951

Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 36914. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdin.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdin.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdin.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdin.s	|- S = ( LSubSp ` U )
mapdin.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdin.x	|- ( ph -> X e. S )
mapdin.y	|- ( ph -> Y e. S )

Assertion

Ref	Expression
mapdin	|- ( ph -> ( M ` ( X i^i Y ) ) = ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) )

Proof of Theorem mapdin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . 4 |- ( X i^i Y ) C_ X
2		mapdin.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		mapdin.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		mapdin.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` U )
5		mapdin.m	. . . . 5 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
6		mapdin.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7	2, 3, 6	dvhlmod 36399	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
8		mapdin.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. S )
9		mapdin.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. S )
10	4	lssincl 18965	. . . . . 6 |- ( ( U e. LMod /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X i^i Y ) e. S )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X i^i Y ) e. S )
12	2, 3, 4, 5, 6, 11, 8	mapdord 36927	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ` ( X i^i Y ) ) C_ ( M ` X ) <-> ( X i^i Y ) C_ X ) )
13	1, 12	mpbiri 248	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( X i^i Y ) ) C_ ( M ` X ) )
14		inss2 3834	. . . 4 |- ( X i^i Y ) C_ Y
15	2, 3, 4, 5, 6, 11, 9	mapdord 36927	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ` ( X i^i Y ) ) C_ ( M ` Y ) <-> ( X i^i Y ) C_ Y ) )
16	14, 15	mpbiri 248	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( X i^i Y ) ) C_ ( M ` Y ) )
17	13, 16	ssind 3837	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (LCDual ` K ) ` W ) = ( (LCDual ` K ) ` W )
19		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) = ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) )
20	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8	mapdcl2 36945	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` X ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) )
21	2, 5, 18, 19, 6	mapdrn2 36940	. . . . . 6 |- ( ph -> ran M = ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) )
22	20, 21	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ` X ) e. ran M )
23	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9	mapdcl2 36945	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` Y ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) )
24	23, 21	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ` Y ) e. ran M )
25	2, 5, 3, 18, 6, 22, 24	mapdincl 36950	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) e. ran M )
26	2, 5, 6, 25	mapdcnvid2 36946	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) = ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) )
27		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) C_ ( M ` X )
28	26, 27	syl6eqss 3655	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` X ) )
29	2, 18, 6	lcdlmod 36881	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (LCDual ` K ) ` W ) e. LMod )
30	19	lssincl 18965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (LCDual ` K ) ` W ) e. LMod /\ ( M ` X ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) /\ ( M ` Y ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) ) -> ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) )
31	29, 20, 23, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) e. ( LSubSp ` ( (LCDual ` K ) ` W ) ) )
32	31, 21	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) e. ran M )
33	2, 5, 3, 4, 6, 32	mapdcnvcl 36941	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) e. S )
34	2, 3, 4, 5, 6, 33, 8	mapdord 36927	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` X ) <-> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ X ) )
35	28, 34	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ X )
36	2, 5, 6, 32	mapdcnvid2 36946	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) = ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) )
37		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) C_ ( M ` Y )
38	36, 37	syl6eqss 3655	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` Y ) )
39	2, 3, 4, 5, 6, 33, 9	mapdord 36927	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` Y ) <-> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ Y ) )
40	38, 39	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ Y )
41	35, 40	ssind 3837	. . . 4 |- ( ph -> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ ( X i^i Y ) )
42	2, 3, 4, 5, 6, 33, 11	mapdord 36927	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` ( X i^i Y ) ) <-> ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) C_ ( X i^i Y ) ) )
43	41, 42	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) ) ) C_ ( M ` ( X i^i Y ) ) )
44	26, 43	eqsstr3d 3640	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) C_ ( M ` ( X i^i Y ) ) )
45	17, 44	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( M ` ( X i^i Y ) ) = ( ( M ` X ) i^i ( M ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   ran crn 5115   ` cfv 5888   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  37020  mapdh6lem1N  37022  mapdh6lem2N  37023  hdmap1l6lem1  37097  hdmap1l6lem2  37098