Theorem mdetunilem6 20423

Description: Lemma for mdetuni 20428. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
mdetunilem6.ph	|- ( ps -> ph )
mdetunilem6.ef	|- ( ps -> ( E e. N /\ F e. N /\ E =/= F ) )
mdetunilem6.gh	|- ( ( ps /\ b e. N ) -> ( G e. K /\ H e. K ) )
mdetunilem6.i	|- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> I e. K )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem6	|- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w, a, b   x, B, y, z, w, a, b   x, K, y, z, w, a, b   x, N, y, z, w, a, b   x, D, y, z, w, a, b   x, .x. , y, z, w   .+ , a, b, x, y, z, w   .0. , a, b, x, y, z, w   .1. , a, b, x, y, z, w   x, R, y, z, w   A, a, b, x, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w   x, G, y, z, w   x, H, y, z, w   ps, a, b, x, y, z, w   E, a, b   F, a, b   G, a   H, a   x, I, y, z, w

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)   G( b)   H( b)   I( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		mdetuni.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		mdetuni.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		mdetuni.0g	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mdetuni.1r	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
6		mdetuni.pg	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
7		mdetuni.tg	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
8		mdetuni.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Fin )
9		mdetuni.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mdetuni.ff	. . . . 5 |- ( ph -> D : B --> K )
11		mdetuni.al	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
12		mdetuni.li	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
13		mdetuni.sc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
14		mdetunilem6.ph	. . . . 5 |- ( ps -> ph )
15		mdetunilem6.ef	. . . . . 6 |- ( ps -> ( E e. N /\ F e. N /\ E =/= F ) )
16	15	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ps -> E e. N )
17		mdetunilem6.gh	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ b e. N ) -> ( G e. K /\ H e. K ) )
18	17	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ps /\ b e. N ) -> H e. K )
19	18	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> H e. K )
20	17	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ps /\ b e. N ) -> G e. K )
21	20	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> G e. K )
22		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
23	14, 9, 22	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> R e. Grp )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps /\ b e. N ) -> R e. Grp )
25	3, 6	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ H e. K /\ G e. K ) -> ( H .+ G ) e. K )
26	24, 18, 20, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ b e. N ) -> ( H .+ G ) e. K )
27	26	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( H .+ G ) e. K )
28		mdetunilem6.i	. . . . . . 7 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> I e. K )
29	27, 28	ifcld 4131	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) e. K )
30	19, 21, 29	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( H e. K /\ G e. K /\ if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) e. K ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30	mdetunilem5 20422	. . . 4 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( H .+ G ) , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) ) )
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28	mdetunilem2 20419	. . . 4 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( H .+ G ) , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = .0. )
33	15	simp2d 1074	. . . . . . . 8 |- ( ps -> F e. N )
34	19, 28	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , H , I ) e. K )
35	19, 21, 34	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( H e. K /\ G e. K /\ if ( a = E , H , I ) e. K ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35	mdetunilem5 20422	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , H , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) ) )
37	15	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps -> E =/= F )
38	37	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> F =/= E )
39	33, 16, 38	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( F e. N /\ E e. N /\ F =/= E ) )
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28	mdetunilem2 20419	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , H , I ) ) ) ) = .0. )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , H , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) ) = ( .0. .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) ) )
42	37	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> -. E = F )
43		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = E /\ a = F ) -> E = F )
44	42, 43	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ps -> -. ( a = E /\ a = F ) )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> -. ( a = E /\ a = F ) )
46		ifcomnan 4137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( a = E /\ a = F ) -> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) = if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) = if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) )
48	47	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) )
50	14, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> D : B --> K )
51	14, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps -> N e. Fin )
52	21, 28	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = F , G , I ) e. K )
53	19, 52	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) e. K )
54	1, 3, 2, 51, 23, 53	matbas2d 20229	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) e. B )
55	50, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) e. K )
56	49, 55	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) e. K )
57	3, 6, 4	grplid 17452	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) e. K ) -> ( .0. .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) )
58	23, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( .0. .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) )
59	36, 41, 58	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , H , I ) ) ) ) )
60		ifcomnan 4137	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( a = E /\ a = F ) -> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) = if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) )
61	45, 60	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) = if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) )
62	61	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , H , I ) ) ) ) )
64	59, 63, 49	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) )
65	21, 28	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , G , I ) e. K )
66	19, 21, 65	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( H e. K /\ G e. K /\ if ( a = E , G , I ) e. K ) )
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66	mdetunilem5 20422	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , G , I ) ) ) ) ) )
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28	mdetunilem2 20419	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , G , I ) ) ) ) = .0. )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , G , if ( a = E , G , I ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) .+ .0. ) )
70		ifcomnan 4137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( a = E /\ a = F ) -> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) = if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) )
71	45, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) = if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) )
72	71	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) )
74	19, 28	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = F , H , I ) e. K )
75	21, 74	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) e. K )
76	1, 3, 2, 51, 23, 75	matbas2d 20229	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) e. B )
77	50, 76	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) e. K )
78	73, 77	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) e. K )
79	3, 6, 4	grprid 17453	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) .+ .0. ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) )
80	23, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) .+ .0. ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) )
81	67, 69, 80	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , H , if ( a = E , G , I ) ) ) ) )
82		ifcomnan 4137	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( a = E /\ a = F ) -> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) = if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) )
83	45, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) = if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) )
84	83	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) ) )
85	84	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = F , ( H .+ G ) , if ( a = E , G , I ) ) ) ) )
86	81, 85, 73	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) )
87	64, 86	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ps -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , ( H .+ G ) , I ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) ) )
88	31, 32, 87	3eqtr3rd 2665	. . 3 |- ( ps -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) ) = .0. )
89		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
90	3, 6, 4, 89	grpinvid1 17470	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) e. K /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) e. K ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) <-> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) ) = .0. ) )
91	23, 55, 77, 90	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ps -> ( ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) <-> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) ) = .0. ) )
92	88, 91	mpbird 247	. 2 |- ( ps -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) )
93	92	eqcomd 2628	1 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , if ( a = F , H , I ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , H , if ( a = F , G , I ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20424