Theorem miriso 25565

Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	|- P = ( Base ` G )
mirval.d	|- .- = ( dist ` G )
mirval.i	|- I = (Itv ` G )
mirval.l	|- L = (LineG ` G )
mirval.s	|- S = (pInvG ` G )
mirval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
mirval.a	|- ( ph -> A e. P )
mirfv.m	|- M = ( S ` A )
miriso.1	|- ( ph -> X e. P )
miriso.2	|- ( ph -> Y e. P )

Assertion

Ref	Expression
miriso	|- ( ph -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem miriso

Dummy variables x y z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = A ) -> X = A )
2	1	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ X = A ) -> ( X .- Y ) = ( A .- Y ) )
3		mirval.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
4		mirval.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
5		mirval.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
6		mirval.l	. . . 4 |- L = (LineG ` G )
7		mirval.s	. . . 4 |- S = (pInvG ` G )
8		mirval.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = A ) -> G e. TarskiG )
10		mirval.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = A ) -> A e. P )
12		mirfv.m	. . . 4 |- M = ( S ` A )
13		miriso.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. P )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = A ) -> Y e. P )
15	3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14	mircgr 25552	. . 3 |- ( ( ph /\ X = A ) -> ( A .- ( M ` Y ) ) = ( A .- Y ) )
16		miriso.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. P )
17	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = A ) -> X e. P )
18	1	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = A ) -> A = X )
19	18	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = A ) -> ( A .- A ) = ( A .- X ) )
20	3, 4, 5, 9, 11, 17	tgbtwntriv1 25386	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = A ) -> A e. ( A I X ) )
21	3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20	ismir 25554	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = A ) -> A = ( M ` X ) )
22	21	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ X = A ) -> ( A .- ( M ` Y ) ) = ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) )
23	2, 15, 22	3eqtr2rd 2663	. 2 |- ( ( ph /\ X = A ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
24	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> G e. TarskiG )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> G e. TarskiG )
26	25	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> G e. TarskiG )
27		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> x e. P )
28	27	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> x e. P )
29	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> X e. P )
30	29	ad8antr 776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. P )
31	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> A e. P )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> A e. P )
33	32	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. P )
34	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> Y e. P )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> Y e. P )
36	35	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> Y e. P )
37		simp-4r 807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> z e. P )
38	3, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29	mircl 25556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> ( M ` X ) e. P )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> ( M ` X ) e. P )
40	39	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` X ) e. P )
41	3, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34	mircl 25556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> ( M ` Y ) e. P )
42	41	ad8antr 776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` Y ) e. P )
43	3, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30	mirbtwn 25553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( ( M ` X ) I X ) )
44		simp-7r 813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. ( ( M ` X ) I x ) )
46	3, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. ( A I x ) )
47	3, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. ( x I A ) )
48	3, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. ( x I ( M ` X ) ) )
49	3, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( X I ( M ` X ) ) )
50	3, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49	tgbtwnexch2 25391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( x I ( M ` X ) ) )
51		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) )
52	51	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` X ) e. ( x I z ) )
53	3, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` X ) e. ( A I z ) )
54	3, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` X ) e. ( z I A ) )
55		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) -> y e. P )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> y e. P )
57	3, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36	mirbtwn 25553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( ( M ` Y ) I Y ) )
58		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) )
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> Y e. ( ( M ` Y ) I y ) )
60	3, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> Y e. ( A I y ) )
61	3, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> Y e. ( y I A ) )
62	3, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30	mircgr 25552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- ( M ` X ) ) = ( A .- X ) )
63	58	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( Y .- y ) = ( X .- A ) )
64	3, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( y .- Y ) = ( A .- X ) )
65	62, 64	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- ( M ` X ) ) = ( y .- Y ) )
66	51	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) )
67	3, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66	tgcgrextend 25380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- z ) = ( y .- A ) )
68	44	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( X .- x ) = ( Y .- A ) )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( Y .- A ) = ( X .- x ) )
70	3, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69	tgcgrextend 25380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( y .- A ) = ( A .- x ) )
71	67, 70	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- x ) = ( A .- z ) )
72	3, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- A ) = ( z .- A ) )
73	62	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- X ) = ( A .- ( M ` X ) ) )
74	3, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( X .- A ) = ( ( M ` X ) .- A ) )
75		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> t e. P )
76	3, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> Y e. ( y I ( M ` Y ) ) )
77	3, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( Y I ( M ` Y ) ) )
78	3, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77	tgbtwnexch2 25391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( y I ( M ` Y ) ) )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) )
80	79	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` Y ) e. ( y I t ) )
81	3, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` Y ) e. ( A I t ) )
82	3, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` Y ) e. ( t I A ) )
83	3, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- X ) = ( A .- Y ) )
84	3, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36	mircgr 25552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- ( M ` Y ) ) = ( A .- Y ) )
85	83, 84	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- X ) = ( A .- ( M ` Y ) ) )
86	79	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) )
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( X .- A ) = ( ( M ` Y ) .- t ) )
88	3, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87	tgcgrextend 25380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- A ) = ( A .- t ) )
89	3, 4, 5, 26, 33, 75	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- t ) = ( t .- A ) )
90	88, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- A ) = ( t .- A ) )
91	3, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- x ) = ( A .- t ) )
92	70, 91, 89	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( y .- A ) = ( t .- A ) )
93	3, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` Y ) .- A ) = ( Y .- A ) )
94	93	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( Y .- A ) = ( ( M ` Y ) .- A ) )
95	3, 4, 5, 26, 75, 37	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( t .- z ) = ( z .- t ) )
96		simp-9r 817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> X =/= A )
97	96	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> -. X = A )
98	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> G e. TarskiG )
99	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> A e. P )
100	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> X e. P )
101	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> X e. ( A I x ) )
102		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> x = A )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> ( A I x ) = ( A I A ) )
104	101, 103	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> X e. ( A I A ) )
105	3, 4, 5, 98, 99, 100, 104	axtgbtwnid 25365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> A = X )
106	105	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) /\ x = A ) -> X = A )
107	97, 106	mtand 691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> -. x = A )
108	107	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> x =/= A )
109	3, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52	tgbtwnexch 25393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( x I z ) )
110	3, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80	tgbtwnexch 25393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( y I t ) )
111	3, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. ( t I y ) )
112	3, 4, 5, 26, 56, 33	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( y .- A ) = ( A .- y ) )
113	67, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- z ) = ( A .- y ) )
114	3, 4, 5, 26, 28, 75	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- t ) = ( t .- x ) )
115	91	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- t ) = ( A .- x ) )
116	3, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115	axtg5seg 25364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( z .- t ) = ( y .- x ) )
117	95, 116	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( y .- x ) = ( t .- z ) )
118	3, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71	tgifscgr 25403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( Y .- x ) = ( ( M ` Y ) .- z ) )
119	3, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( x .- Y ) = ( z .- ( M ` Y ) ) )
120	84	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( A .- Y ) = ( A .- ( M ` Y ) ) )
121	3, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120	tgifscgr 25403	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( X .- Y ) = ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) )
122	121	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) /\ t e. P ) /\ ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
123		simp-6l 810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) -> ( ph /\ X =/= A ) )
124		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) -> ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) )
125	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> G e. TarskiG )
126		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> y e. P )
127	41	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> ( M ` Y ) e. P )
128	29	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> X e. P )
129	31	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> A e. P )
130	3, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129	axtgsegcon 25363	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> E. t e. P ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) )
131	123, 55, 124, 130	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) -> E. t e. P ( ( M ` Y ) e. ( y I t ) /\ ( ( M ` Y ) .- t ) = ( X .- A ) ) )
132	122, 131	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
133	3, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32	axtgsegcon 25363	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> E. z e. P ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) )
134	133	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> E. z e. P ( ( M ` X ) e. ( x I z ) /\ ( ( M ` X ) .- z ) = ( Y .- A ) ) )
135	132, 134	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
136	3, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31	axtgsegcon 25363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> E. y e. P ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) )
137	136	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> E. y e. P ( Y e. ( ( M ` Y ) I y ) /\ ( Y .- y ) = ( X .- A ) ) )
138	135, 137	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= A ) /\ x e. P ) /\ ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
139	3, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31	axtgsegcon 25363	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> E. x e. P ( X e. ( ( M ` X ) I x ) /\ ( X .- x ) = ( Y .- A ) ) )
140	138, 139	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= A ) -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
141	23, 140	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( ( M ` X ) .- ( M ` Y ) ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  pInvGcmir 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-mir 25548

This theorem is referenced by:  mirbtwni  25566  mircgrs  25568  mirmot  25570  miduniq  25580  ragcom  25593  colperpexlem1  25622  lmiisolem  25688  hypcgrlem2  25692  hypcgr  25693