Theorem srgbinom 18545

Description: The binomial theorem for commuting elements of a semiring: ( A + B ) ^ N is the sum from k = 0 to N of ( N _C k ) x. ( ( A ^ k ) x. ( B ^ ( N - k ) ) (generalization of binom 14562). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	|- S = ( Base ` R )
srgbinom.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgbinom.t	|- .x. = (.g ` R )
srgbinom.a	|- .+ = ( +g ` R )
srgbinom.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgbinom.e	|- .^ = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
srgbinom	|- ( ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   R, k   S, k   .x. , k   .^ , k   .X. , k   .+ , k

Allowed substitution hint:   G( k)

Proof of Theorem srgbinom

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( 0 .^ ( A .+ B ) ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 0 ... x ) = ( 0 ... 0 ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( x _C k ) = ( 0 _C k ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x - k ) = ( 0 - k ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x - k ) .^ A ) = ( ( 0 - k ) .^ A ) )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) )
7	3, 6	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
8	2, 7	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
10	1, 9	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) <-> ( 0 .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) <-> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
12		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( n .^ ( A .+ B ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( 0 ... x ) = ( 0 ... n ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( x _C k ) = ( n _C k ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> ( x - k ) = ( n - k ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = n -> ( ( x - k ) .^ A ) = ( ( n - k ) .^ A ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) )
18	14, 17	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
19	13, 18	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
21	12, 20	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) <-> ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) <-> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) )
24		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( 0 ... x ) = ( 0 ... ( n + 1 ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x - k ) = ( ( n + 1 ) - k ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x - k ) .^ A ) = ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) )
29	25, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
30	24, 29	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
32	23, 31	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
33	32	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) <-> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
34		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( N .^ ( A .+ B ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( 0 ... x ) = ( 0 ... N ) )
36		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x _C k ) = ( N _C k ) )
37		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( x - k ) = ( N - k ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( x - k ) .^ A ) = ( ( N - k ) .^ A ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) )
40	36, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
41	35, 40	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
43	34, 42	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) <-> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
44	43	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( x .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... x ) |-> ( ( x _C k ) .x. ( ( ( x - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) <-> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
45		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> A e. S )
46		srgbinom.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (mulGrp ` R )
47		srgbinom.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( Base ` R )
48	46, 47	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( Base ` G )
49	45, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> A e. ( Base ` G ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52		srgbinom.e	. . . . . . . . . . 11 |- .^ = (.g ` G )
53	50, 51, 52	mulg0 17546	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( Base ` G ) -> ( 0 .^ A ) = ( 0g ` G ) )
54	49, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 .^ A ) = ( 0g ` G ) )
55		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> B e. S )
56	55, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> B e. ( Base ` G ) )
57	50, 51, 52	mulg0 17546	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( Base ` G ) -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
59	54, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) = ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
62	47, 61	srgidcl 18518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. SRing -> ( 1r ` R ) e. S )
63	62	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. SRing -> ( R e. SRing /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( R e. SRing /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
65		srgbinom.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( .r ` R )
66	47, 65, 61	srglidm 18521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( 1r ` R ) e. S ) -> ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) ) = ( 1 .x. ( 1r ` R ) ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
70	69, 61	srgidcl 18518	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. SRing -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
71		srgbinom.t	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = (.g ` R )
72	69, 71	mulg1 17548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( 1 .x. ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. SRing -> ( 1 .x. ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
75	68, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) )
76	46, 61	ringidval 18503	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 0g ` G )
77		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) )
78	77, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) -> ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) = ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) -> ( 1 .x. ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) ) )
80	79, 77	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) -> ( ( 1 .x. ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( 1 .x. ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
81	76, 80	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 .x. ( ( 1r ` R ) .X. ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) <-> ( 1 .x. ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) ) = ( 0g ` G ) )
82	75, 81	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 0g ` G ) .X. ( 0g ` G ) ) ) = ( 0g ` G ) )
83	60, 82	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0g ` G ) )
84		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
85		fzsn 12383	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
87	86	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
88	87	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. { 0 } |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
90		srgmnd 18509	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
91	90	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> R e. Mnd )
92		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> 0 e. _V )
94	76, 62	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` G ) e. S )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. S )
96	83, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S )
97		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
98		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
99		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 _C 0 ) = 1
101	97, 100	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = 1 )
102		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( 0 - k ) = ( 0 - 0 ) )
103		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - 0 ) = 0
104	102, 103	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( 0 - k ) = 0 )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( ( 0 - k ) .^ A ) = ( 0 .^ A ) )
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( k .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
107	105, 106	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) )
108	101, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
109	47, 108	gsumsn 18354	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ 0 e. _V /\ ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) -> ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
110	91, 93, 96, 109	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
111	89, 110	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( 1 .x. ( ( 0 .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
112		srgbinom.a	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
113	47, 112	mndcl 17301	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A .+ B ) e. S )
114	91, 45, 55, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( A .+ B ) e. S )
115	114, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( A .+ B ) e. ( Base ` G ) )
116	50, 51, 52	mulg0 17546	. . . . . . 7 |- ( ( A .+ B ) e. ( Base ` G ) -> ( 0 .^ ( A .+ B ) ) = ( 0g ` G ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 .^ ( A .+ B ) ) = ( 0g ` G ) )
118	83, 111, 117	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( 0 .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( 0 _C k ) .x. ( ( ( 0 - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
119		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) -> R e. SRing )
120	45	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) -> A e. S )
121	55	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) -> B e. S )
122		simprr3 1111	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
123		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) -> n e. NN0 )
124		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) -> ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
125	47, 65, 71, 112, 46, 52, 119, 120, 121, 122, 123, 124	srgbinomlem 18544	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) ) /\ ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
126	125	exp31 630	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
127	126	a2d 29	. . . . 5 |- ( n e. NN0 -> ( ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( n .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( n _C k ) .x. ( ( ( n - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) -> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( ( n + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) |-> ( ( ( n + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( n + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
128	11, 22, 33, 44, 118, 127	nn0ind 11472	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
129	128	expd 452	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( R e. SRing -> ( ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) )
130	129	impcom 446	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
131	130	imp 445	1 |- ( ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) /\ ( A e. S /\ B e. S /\ ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  csrgbinom  18546