Theorem srgbinomlem 18544

Description: Lemma for srgbinom 18545. Inductive step, analogous to binomlem 14561. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	|- S = ( Base ` R )
srgbinom.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgbinom.t	|- .x. = (.g ` R )
srgbinom.a	|- .+ = ( +g ` R )
srgbinom.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgbinom.e	|- .^ = (.g ` G )
srgbinomlem.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgbinomlem.a	|- ( ph -> A e. S )
srgbinomlem.b	|- ( ph -> B e. S )
srgbinomlem.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgbinomlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgbinomlem.i	|- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   R, k   S, k   .x. , k   .X. , k   .^ , k   ph, k   .+ , k

Allowed substitution hints:   ps( k)   G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinom.s	. . . 4 |- S = ( Base ` R )
2		srgbinom.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
3		srgbinom.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` R )
4		srgbinom.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
5		srgbinom.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
6		srgbinom.e	. . . 4 |- .^ = (.g ` G )
7		srgbinomlem.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. SRing )
8		srgbinomlem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
9		srgbinomlem.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
10		srgbinomlem.c	. . . 4 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
11		srgbinomlem.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
12		srgbinomlem.i	. . . 4 |- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem3 18542	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem4 18543	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
15	13, 14	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
16	5	srgmgp 18510	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
18		srgmnd 18509	. . . . . . . 8 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Mnd )
20	1, 4	mndcl 17301	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A .+ B ) e. S )
21	19, 8, 9, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A .+ B ) e. S )
22	17, 11, 21	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) )
23	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) )
24	5, 1	mgpbas 18495	. . . . 5 |- S = ( Base ` G )
25	5, 2	mgpplusg 18493	. . . . 5 |- .X. = ( +g ` G )
26	24, 6, 25	mulgnn0p1 17552	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) )
27	23, 26	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) )
28	24, 6	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S )
29	17, 11, 21, 28	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S )
30	29, 8, 9	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) )
31	7, 30	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) )
33	1, 4, 2	srgdi 18516	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) )
34	32, 33	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) )
35	27, 34	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) )
36		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
37		bcpasc 13108	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
38	11, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
40	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. Mnd )
41		bccl 13109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
42	11, 36, 41	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
43	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
44	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
45		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
47		bccl 13109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
48	43, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
49	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing )
50	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd )
51		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
53	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S )
54	24, 6	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S )
56		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
58	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S )
59	24, 6	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ k e. NN0 /\ B e. S ) -> ( k .^ B ) e. S )
60	50, 57, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k .^ B ) e. S )
61	1, 2	srgcl 18512	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S /\ ( k .^ B ) e. S ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S )
62	49, 55, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S )
63	1, 3, 4	mulgnn0dir 17571	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
64	40, 42, 48, 62, 63	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
65	39, 64	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
66	65	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
68		srgcmn 18508	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )
69	7, 68	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CMnd )
70		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
71	1, 3	mulgnn0cl 17558	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N _C k ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
72	40, 42, 62, 71	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
73	36, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
74	11, 73, 47	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
75	1, 3	mulgnn0cl 17558	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
76	40, 74, 62, 75	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
77		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
78		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
79	1, 4, 69, 70, 72, 76, 77, 78	gsummptfidmadd 18325	. . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
80	67, 79	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
81	80	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
82	15, 35, 81	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgbinom  18545