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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modprm0 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 15509 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 3160 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 15389 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 12342 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 11426 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 494 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 12693 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 8 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . 11
..^
 |
| 19 | 18 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 20 | 19 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | 13 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 22 | 21 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 23 | 22 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 24 | 6 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 26 | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | 25, 19, 26 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 28 | 23, 27 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 29 | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 30 | 29 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 31 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 32 | 13 | nnrpd 11870 |
. . . . . . . . . . 11
 |
| 33 | 32 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 34 | 33 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 35 | modaddmulmod 12737 |
. . . . . . . . 9
| |
| 36 | 20, 28, 31, 34, 35 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 37 | 13 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 38 | 37 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 39 | 38 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 6 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 41 | 40 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 42 | 8 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 43 | 42 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 44 | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 45 | 41, 43, 44 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 46 | 29 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 47 | 46 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 48 | 47 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 49 | 39, 45, 48 | subdird 10487 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 50 | 49 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 51 | 50 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 52 | mulcom 10022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 53 | 37, 46, 52 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | 53 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 55 | mulmod0 12676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 56 | 29, 32, 55 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 57 | 54, 56 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 58 | 57 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 59 | 58 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 60 | 41 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 43 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 62 | 60, 61, 48 | mul32d 10246 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 63 | 62 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 64 | 29 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 65 | 64 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 66 | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 67 | 25, 65, 66 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 68 | 9 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 69 | modmulmod 12735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 70 | 67, 68, 34, 69 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 71 | 63, 70 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 72 | 59, 71 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 73 | 72 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 74 | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 75 | 21, 64, 74 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 77 | 76 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 78 | 65 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 27, 78 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 80 | modsubmodmod 12729 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 77, 79, 34, 80 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 82 | mulcom 10022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 83 | 47, 40, 82 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 84 | 83 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 85 | 84 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ 
|
| 86 | 85 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 87 | 86 | impancom 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 88 | 87 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 89 | 88 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 90 | 89 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 91 | 90 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 92 | 91 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 93 | 61 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 94 | 93 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 95 | 32, 18 | anim12ci 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 96 | elfzo2 12473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^  
 | |
| 97 | eluz2 11693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 98 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 99 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 101 | 98, 99, 100 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 102 | 101 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 103 | 0le1 10551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 104 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 105 | 104 | anim1i 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 106 | letr 10131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 107 | 102, 105, 106 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 108 | 107 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 109 | 97, 108 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 110 | 109 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 111 | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 112 | 110, 111 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 113 | 96, 112 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 114 | 113 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 115 | 95, 114 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 116 | 115 | 3adant2 1080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 117 | 116 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 118 | modid 12695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 119 | 117, 118 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 120 | 94, 119 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 121 | 120 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 122 | 121 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 123 | 92, 122 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | 73, 81, 123 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 125 | 124 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 126 | 125 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 127 | 77, 79 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | modadd2mod 12720 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 129 | 127, 20, 34, 128 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 130 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 131 | 130, 18 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 132 | 131 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 133 | 18 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 134 | 32 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 135 | 132, 133, 134 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 136 | 135 | 3adant2 1080 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 138 | modadd2mod 12720 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 139 | 137, 138 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 140 | 0cnd 10033 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 141 | 42, 140 | pncan3d 10395 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 142 | 141 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 143 | 142 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 144 | 143 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 145 | 0mod 12701 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 146 | 32, 145 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 147 | 146 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 148 | 147 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 149 | 139, 144, 148 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 150 | 126, 129, 149 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 151 | 36, 51, 150 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 152 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 153 | 152 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 154 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | rspcev 3309 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 157 | 17, 151, 156 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 158 | 157 | ex 450 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 159 | 158 | rexlimiva 3028 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 160 | 1, 2, 159 | 3syl 18 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 161 | 160 | 3adant3 1081 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 162 | 161 | pm2.43i 52 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wa 384
w3a 1037
wceq 1483
wcel 1990
wrex 2913
wreu 2914
class class class wbr 4653 cfv 5888 (class class class)co 6650
cc 9934
cr 9935
cc0 9936
c1 9937
caddc 9939 cmul 9941 clt 10074 cle 10075 cmin 10266 cn 11020 cz 11377 cuz 11687 crp 11832 cfz 12326 ..^cfzo 12465
cmo 12668
cprime 15385 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 15511 |
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