Theorem monmatcollpw 20584

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries is the matrix of the coefficients of the monomials or a zero matrix. Generalization of decpmatid 20575 (but requires R to be commutative!). (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
monmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
monmatcollpw.a	|- A = ( N Mat R )
monmatcollpw.k	|- K = ( Base ` A )
monmatcollpw.0	|- .0. = ( 0g ` A )
monmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
monmatcollpw.m	|- .x. = ( .s ` C )
monmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
monmatcollpw	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat I ) = if ( I = L , M , .0. ) )

Proof of Theorem monmatcollpw

Dummy variables i j l x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
2		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
3		monmatcollpw.p	. . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
4	3	ply1ring 19618	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
6	5	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> P e. Ring )
7	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R e. Ring )
8		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) -> L e. NN0 )
9		monmatcollpw.x	. . . . . . 7 |- X = (var1 ` R )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
11		monmatcollpw.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
13	3, 9, 10, 11, 12	ply1moncl 19641	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ L e. NN0 ) -> ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) )
14	7, 8, 13	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) )
15	2	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
16		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) -> M e. K )
17	15, 16	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ M e. K ) )
18		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ M e. K ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. K ) )
20		monmatcollpw.t	. . . . . . 7 |- T = ( N matToPolyMat R )
21		monmatcollpw.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
22		monmatcollpw.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` A )
23		monmatcollpw.c	. . . . . . 7 |- C = ( N Mat P )
24	20, 21, 22, 3, 23	mat2pmatbas 20531	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. K ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` C ) )
25	19, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` C ) )
26	14, 25	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` C ) ) )
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
28		monmatcollpw.m	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` C )
29	12, 23, 27, 28	matvscl 20237	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) /\ ( ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) e. ( Base ` C ) )
30	1, 6, 26, 29	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) e. ( Base ` C ) )
31		simpr3 1069	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> I e. NN0 )
32	23, 27	decpmatval 20570	. . 3 |- ( ( ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) e. ( Base ` C ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat I ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) ` I ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat I ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) ` I ) ) )
34	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. Ring )
35	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` C ) ) )
36		3simpc 1060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i e. N /\ j e. N ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
38	23, 27, 12, 28, 37	matvscacell 20242	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Ring /\ ( ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` C ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) = ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) )
39	34, 35, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) = ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) = (coe1 ` ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) ) )
41	40	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) ` I ) = ( (coe1 ` ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) ) ` I ) )
42	16	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. K ) )
43		df-3an 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. K ) )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. K ) )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. K ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
47	20, 21, 22, 3, 46	mat2pmatvalel 20530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. K ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` M ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i M j ) ) )
48	45, 36, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( T ` M ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i M j ) ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) = ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i M j ) ) ) )
50	3	ply1assa 19569	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> P e. AssAlg )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> P e. AssAlg )
52	51	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. AssAlg )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
55		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
56		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
57	22	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. K <-> M e. ( Base ` A ) )
58	57	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. K -> M e. ( Base ` A ) )
59	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) -> M e. ( Base ` A ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> M e. ( Base ` A ) )
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> M e. ( Base ` A ) )
62	21, 53, 54, 55, 56, 61	matecld 20232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i M j ) e. ( Base ` R ) )
63	3	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. CRing -> R = (Scalar ` P ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R = (Scalar ` P ) )
65	64	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (Scalar ` P ) = R )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` R ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` R ) )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` R ) )
69	62, 68	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i M j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
70	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) )
71		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
72		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` P ) = ( .s ` P )
74	46, 71, 72, 12, 37, 73	asclmul2 19340	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. AssAlg /\ ( i M j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( L .^ X ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i M j ) ) ) = ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) )
75	52, 69, 70, 74	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i M j ) ) ) = ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) )
76	49, 75	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) = ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) )
77	76	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) ) = (coe1 ` ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) ) )
78	77	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( L .^ X ) ( .r ` P ) ( i ( T ` M ) j ) ) ) ` I ) = ( (coe1 ` ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) ) ` I ) )
79	2	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
80	79	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
81		simp1r2 1158	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> L e. NN0 )
82		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
83	82, 53, 3, 9, 73, 10, 11	coe1tm 19643	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( i M j ) e. ( Base ` R ) /\ L e. NN0 ) -> (coe1 ` ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
84	80, 62, 81, 83	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
85	84	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i M j ) ( .s ` P ) ( L .^ X ) ) ) ` I ) = ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) )
86	41, 78, 85	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) ` I ) = ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) )
87	86	mpt2eq3dva 6719	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) j ) ) ` I ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) )
88		monmatcollpw.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` A )
89	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
91	21, 82	mat0op 20225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( z e. N , w e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( 0g ` A ) = ( z e. N , w e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
93	88, 92	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> .0. = ( z e. N , w e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
94		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) )
95		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> x e. N )
96		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> y e. N )
97		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
98	93, 94, 95, 96, 97	ovmpt2d 6788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x .0. y ) = ( 0g ` R ) )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( 0g ` R ) = ( x .0. y ) )
100	99	ifeq2d 4105	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( x .0. y ) ) )
101		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) )
102		oveq12 6659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i M j ) = ( x M y ) )
103	102	ifeq1d 4104	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
104	103	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) ) )
105	104	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) = ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) )
106		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) ) )
107		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( l = I -> ( l = L <-> I = L ) )
108	107	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( l = I -> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) /\ l = I ) -> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
110	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> I e. NN0 )
111		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( x M y ) e. _V
112		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) e. _V
113	111, 112	ifex 4156	. . . . . . . . 9 |- if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) e. _V
114	113	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) e. _V )
115	106, 109, 110, 114	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
116	105, 115	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) /\ ( i = x /\ j = y ) ) -> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
117	101, 116, 95, 96, 114	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) y ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( 0g ` R ) ) )
118		ifov 6740	. . . . . 6 |- ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( x .0. y ) )
119	118	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) = if ( I = L , ( x M y ) , ( x .0. y ) ) )
120	100, 117, 119	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) y ) = ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) )
121	120	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) y ) = ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) )
122		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> R e. CRing )
123		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
124	107	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( l = I -> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( I = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) )
125	124	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ l = I ) -> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( I = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) )
126	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> I e. NN0 )
127	53, 82	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
128	7, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
130	129	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
131	62, 130	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( I = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
132	123, 125, 126, 131	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) = if ( I = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) )
133	132, 131	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) e. ( Base ` R ) )
134	21, 53, 22, 1, 122, 133	matbas2d 20229	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) e. K )
135	60, 57	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> M e. K )
136	21	matring 20249	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
137	22, 88	ring0cl 18569	. . . . . . 7 |- ( A e. Ring -> .0. e. K )
138	15, 136, 137	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> .0. e. K )
139	138	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> .0. e. K )
140	135, 139	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> if ( I = L , M , .0. ) e. K )
141	21, 22	eqmat 20230	. . . 4 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) e. K /\ if ( I = L , M , .0. ) e. K ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) = if ( I = L , M , .0. ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) y ) = ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) ) )
142	134, 140, 141	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) = if ( I = L , M , .0. ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) y ) = ( x if ( I = L , M , .0. ) y ) ) )
143	121, 142	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( l e. NN0 |-> if ( l = L , ( i M j ) , ( 0g ` R ) ) ) ` I ) ) = if ( I = L , M , .0. ) )
144	33, 87, 143	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( ( L .^ X ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat I ) = if ( I = L , M , .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  AssAlgcasa 19309  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   decompPMat cdecpmat 20567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  monmat2matmon  20629