Theorem monmat2matmon 20629

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	|- P = (Poly1 ` R )
monmat2matmon.c	|- C = ( N Mat P )
monmat2matmon.b	|- B = ( Base ` C )
monmat2matmon.m1	|- .* = ( .s ` Q )
monmat2matmon.e1	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
monmat2matmon.x	|- X = (var1 ` A )
monmat2matmon.a	|- A = ( N Mat R )
monmat2matmon.k	|- K = ( Base ` A )
monmat2matmon.q	|- Q = (Poly1 ` A )
monmat2matmon.i	|- I = ( N pMatToMatPoly R )
monmat2matmon.e2	|- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmat2matmon.y	|- Y = (var1 ` R )
monmat2matmon.m2	|- .x. = ( .s ` C )
monmat2matmon.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
3		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
4		monmat2matmon.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
5		monmat2matmon.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` A )
6		monmat2matmon.t	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
7		monmat2matmon.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
8		monmat2matmon.c	. . . . 5 |- C = ( N Mat P )
9		monmat2matmon.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
10		monmat2matmon.m2	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` C )
11		monmat2matmon.e2	. . . . 5 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
12		monmat2matmon.y	. . . . 5 |- Y = (var1 ` R )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 20545	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B )
14		monmat2matmon.m1	. . . . 5 |- .* = ( .s ` Q )
15		monmat2matmon.e1	. . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
16		monmat2matmon.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` A )
17		monmat2matmon.q	. . . . 5 |- Q = (Poly1 ` A )
18		monmat2matmon.i	. . . . 5 |- I = ( N pMatToMatPoly R )
19	7, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18	pm2mpfval 20601	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
20	2, 3, 13, 19	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
21	1, 20	sylanl2 683	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
22		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 ) )
24	23	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
25		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) <-> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
28	7, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 20584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
29	22, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( R e. CRing -> R e. Ring ) )
32	31	anim2d 589	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) )
33	32	anim1d 588	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) ) )
34	33	imdistanri 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) )
35		ovif 6737	. . . . . . . 8 |- ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) )
36	4	matring 20249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
37	17	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> A = (Scalar ` Q ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 0g ` A ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) )
42	17	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
43	36, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> Q e. LMod )
45	17	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
46	36, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Ring )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
48	47	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Ring -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
53	16, 17, 52	vr1cl 19587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> X e. ( Base ` Q ) )
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> X e. ( Base ` Q ) )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> X e. ( Base ` Q ) )
56	47, 52	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` (mulGrp ` Q ) )
57	56, 15	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` Q ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. ( Base ` Q ) ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
58	50, 51, 55, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
62	52, 59, 14, 60, 61	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. LMod /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
63	44, 58, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
64	41, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
65	64	ifeq2d 4105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
66	35, 65	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
67	34, 66	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
68	30, 67	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
69	68	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) )
70	69	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) )
71		ringmnd 18556	. . . . . . 7 |- ( Q e. Ring -> Q e. Mnd )
72	46, 71	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Mnd )
73	72	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> Q e. Mnd )
74		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
75	74	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> NN0 e. _V )
76		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> L e. NN0 )
77		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
78	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` A ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
79	5, 78	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> K = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
80	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. K <-> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
81	80	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. K -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
83	82	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
85		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) )
86	52, 59, 14, 85	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. LMod /\ M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
87	44, 84, 58, 86	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
88	87	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> A. k e. NN0 ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
89	61, 73, 75, 76, 77, 88	gsummpt1n0 18364	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
90	1, 89	sylanl2 683	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
91	70, 90	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
92		csbov2g 6691	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) )
93		csbov1g 6690	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( [_ L / k ]_ k .^ X ) )
94		csbvarg 4003	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ k = L )
95	94	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> ( [_ L / k ]_ k .^ X ) = ( L .^ X ) )
96	93, 95	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( L .^ X ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
98	92, 97	eqtrd 2656	. . 3 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
99	98	ad2antll 765	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
100	21, 91, 99	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   decompPMat cdecpmat 20567   pMatToMatPoly cpm2mp 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598

This theorem is referenced by:  pm2mp  20630