asinsin - Metamath Proof Explorer

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Theorem asinsin 24619

Description: The arcsine function composed with

is equal to the identity. This plus sinasin 24616 allow us to view

and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when

for nonnegative real

and also symmetrically at

. In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval

, not just the open interval (see reasinsin 24623). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
asinsin	$/\$ arcsin

**Proof of Theorem asinsin**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 14856	. . . 4
2	1	adantr 481	. . 3 $/\$
3		asinval 24609	. . 3 arcsin
4	2, 3	syl 17	. 2 $/\$ arcsin
5		ax-icn 9995	. . . . . . . 8
6		mulcl 10020	. . . . . . . 8 $/\$
7	5, 2, 6	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$
8		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
9		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
10	5, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
11		efcl 14813	. . . . . . . 8
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
13	7, 12	pncan3d 10395	. . . . . 6 $/\$
14	12, 7	subcld 10392	. . . . . . . 8 $/\$
15		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9
16	2	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 $/\$
17		subcl 10280	. . . . . . . . 9 $/\$
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
19		binom2sub 12981	. . . . . . . . . 10 $/\$
20	12, 7, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$
21	12	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
22		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
24	23, 12, 7	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
25	21, 24	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
28		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	27, 7, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
31	5, 2, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	32	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	16	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
35	33, 34	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
36	31, 35	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
38	27	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
39	38, 16	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
40	38, 16	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41	37, 39, 40	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
42		efival 14882	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	7	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	43, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46	27, 7, 7	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	45, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	43, 47	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
50	22, 7, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	12, 12, 50	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
52	48, 51	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
53	29, 41, 52	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . 12
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	25, 53, 55	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 $/\$
57	56, 36	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
58		negsub 10329	. . . . . . . . . 10 $/\$
59	15, 16, 58	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$
60	20, 57, 59	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$
61		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
63		negicn 10282	. . . . . . . . . . . . . . 15
64		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	63, 8, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . 14
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	12, 67	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
70		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . 12
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	12	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	67	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74		asinsinlem 24618	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75		negcl 10281	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77		reneg 13865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
79		recl 13850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80		halfpire 24216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
81	80	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
82		iooneg 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	81, 80, 82	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
84	79, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	84	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	80	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88	87	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
89	85, 88	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	78, 89	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91		asinsinlem 24618	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	76, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
93		mulneg12 10468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
94	5, 8, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
97	92, 96	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
98	72, 73, 74, 97	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
99	12, 67	readdd 13954	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	98, 99	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 $/\$
101	62, 69, 71, 100	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . 10 $/\$
102		cosval 14853	. . . . . . . . . . . . . 14
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
104		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
106	68, 23, 105	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
107	103, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		remul2 13870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	61, 68, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	108, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
112	101, 111	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 $/\$
113	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	27, 7	pncand 10393	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	113, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
117	112, 116	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$
118	14, 18, 60, 117	eqsqrt2d 14108	. . . . . . 7 $/\$
119	118	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
120	13, 119	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$
121	120	fveq2d 6195	. . . 4 $/\$
122		pire 24210	. . . . . . . . . 10
123	122	renegcli 10342	. . . . . . . . 9
124	123	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
125	81	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
126		elioore 12205	. . . . . . . . 9
127	126	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
128		pirp 24213	. . . . . . . . . . 11
129		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . 11
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
131	80, 122	ltnegi 10572	. . . . . . . . . 10
132	130, 131	mpbi 220	. . . . . . . . 9
133	132	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
134		eliooord 12233	. . . . . . . . . 10 $/\$
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
136	135	simpld 475	. . . . . . . 8 $/\$
137	124, 125, 127, 133, 136	lttrd 10198	. . . . . . 7 $/\$
138		imre 13848	. . . . . . . . 9
139	10, 138	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
140	5, 5	mulneg1i 10476	. . . . . . . . . . . 12
141		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . 13
142	141	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . 12
143	15	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . 12
144	140, 142, 143	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
145	144	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
146	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
147	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
148	146, 147, 8	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 $/\$
149		mulid2 10038	. . . . . . . . . . 11
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
151	145, 148, 150	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . 9 $/\$
152	151	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$
153	139, 152	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
154	137, 153	breqtrrd 4681	. . . . . 6 $/\$
155	122	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
156	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
157	135	simprd 479	. . . . . . . . 9 $/\$
158	130	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
159	127, 156, 155, 157, 158	lttrd 10198	. . . . . . . 8 $/\$
160	127, 155, 159	ltled 10185	. . . . . . 7 $/\$
161	153, 160	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 $/\$
162		ellogrn 24306	. . . . . 6 $/\$ $/\$
163	10, 154, 161, 162	syl3anbrc 1246	. . . . 5 $/\$
164		logef 24328	. . . . 5
165	163, 164	syl 17	. . . 4 $/\$
166	121, 165	eqtr3d 2658	. . 3 $/\$
167	166	oveq2d 6666	. 2 $/\$
168	4, 167, 151	3eqtrd 2660	1 $/\$ arcsin

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cexp 12860

cre 13837

cim 13838

csqrt 13973

ce 14792

csin 14794

ccos 14795

cpi 14797

clog 24301 arcsincasin 24589

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-asin 24592

This theorem is referenced by: acoscos 24620 reasinsin 24623 asinsinb 24624

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