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Description: The arctangent function
is an inverse to  . (Contributed by Mario
Carneiro, 5-Apr-2015.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| atantan |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}      
   arctan  |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | cosne0 24276 |
. . . 4
   | |
| 2 | atandmtan 24647 |
. . . 4
 arctan | |
| 3 | 1, 2 | syldan 487 |
. . 3
arctan |
| 4 | atanval 24611 |
. . 3
arctan arctan     
 | |
| 5 | 3, 4 | syl 17 |
. 2
arctan |
| 6 | ax-1cn 9994 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | ax-icn 9995 |
. . . . . . . 8
| |
| 8 | tancl 14859 |
. . . . . . . . 9
| |
| 9 | 1, 8 | syldan 487 |
. . . . . . . 8
|
| 10 | mulcl 10020 |
. . . . . . . 8
| |
| 11 | 7, 9, 10 | sylancr 695 |
. . . . . . 7
|
| 12 | addcl 10018 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | 6, 11, 12 | sylancr 695 |
. . . . . 6
|
| 14 | atandm2 24604 |
. . . . . . . 8
arctan 
| |
| 15 | 3, 14 | sylib 208 |
. . . . . . 7
|
| 16 | 15 | simp3d 1075 |
. . . . . 6
|
| 17 | 13, 16 | logcld 24317 |
. . . . 5
|
| 18 | subcl 10280 |
. . . . . . 7
| |
| 19 | 6, 11, 18 | sylancr 695 |
. . . . . 6
|
| 20 | 15 | simp2d 1074 |
. . . . . 6
|
| 21 | 19, 20 | logcld 24317 |
. . . . 5
|
| 22 | 17, 21 | negsubdi2d 10408 |
. . . 4
|
| 23 | efsub 14830 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 24 | 17, 21, 23 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
| 25 | coscl 14857 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 26 | 25 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 27 | sincl 14856 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 28 | 27 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 29 | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | 7, 28, 29 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 31 | 26, 30, 26, 1 | divdird 10839 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 32 | 26, 1 | dividd 10799 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 33 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 34 | 33, 28, 26, 1 | divassd 10836 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | tanval 14858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 36 | 1, 35 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 37 | 36 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 38 | 34, 37 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 39 | 32, 38 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 40 | 31, 39 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
|
| 41 | efival 14882 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 42 | 41 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 43 | 42 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
|
| 44 | eflog 24323 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 45 | 13, 16, 44 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
| 46 | 40, 43, 45 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . 9
|
| 47 | 26, 30, 26, 1 | divsubdird 10840 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 48 | 32, 38 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 47, 48 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
|
| 50 | negcl 10281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 51 | 50 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 52 | efival 14882 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 53 | 51, 52 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 54 | cosneg 14877 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 55 | 54 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 56 | sinneg 14876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 57 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 59 | mulneg2 10467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 60 | 7, 28, 59 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 61 | 58, 60 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 62 | 55, 61 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 63 | 53, 62 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 64 | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 65 | mulneg2 10467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 66 | 7, 64, 65 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 67 | 66 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 68 | 26, 30 | negsubd 10398 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 69 | 63, 67, 68 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | eflog 24323 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 72 | 19, 20, 71 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 49, 70, 72 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 46, 73 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 76 | 7, 64, 75 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 77 | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
| 79 | 76 | negcld 10379 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 80 | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 81 | 79, 80 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
| 82 | efne0 14827 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 83 | 79, 82 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
| 84 | 78, 81, 26, 83, 1 | divcan7d 10829 |
. . . . . . . . 9
|
| 85 | efsub 14830 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | 76, 79, 85 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
| 87 | 76, 76 | subnegd 10399 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 88 | 76 | 2timesd 11275 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 89 | 87, 88 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . 10
|
| 90 | 89 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
|
| 91 | 84, 86, 90 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . . 8
|
| 92 | 24, 74, 91 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . 7
|
| 93 | 92 | fveq2d 6195 |
. . . . . 6
|
| 94 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
 arctan |
| 95 | 51 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 96 | 64 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 97 | 96 | renegd 13949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 98 | 96 | recld 13934 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
| 99 | 98 | renegcld 10457 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 100 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 101 | 98 | lt0neg1d 10597 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 102 | 100, 101 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 103 | eliooord 12233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 104 | 103 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 105 | 104 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 106 | 105 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 107 | halfpire 24216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 108 | ltnegcon1 10529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 109 | 107, 98, 108 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 110 | 106, 109 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 111 | 0xr 10086 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 | |
| 112 | 107 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 113 | elioo2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 114 | 111, 112, 113 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 115 | 99, 102, 110, 114 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 116 | 97, 115 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 117 | tanregt0 24285 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 118 | 95, 116, 117 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | tanneg 14878 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 120 | 1, 119 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 121 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 122 | 121 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 123 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 124 | 123 | renegd 13949 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 125 | 122, 124 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 126 | 118, 125 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 127 | 9 | recld 13934 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 128 | 127 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 129 | 128 | lt0neg1d 10597 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 130 | 126, 129 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
|
| 131 | 130 | lt0ne0d 10593 |
. . . . . . . . 9
|
| 132 | atanlogsub 24643 |
. . . . . . . . 9
arctan  | |
| 133 | 94, 131, 132 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
| 134 | 1re 10039 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | ioossre 12235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 136 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 137 | 11 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 138 | ine0 10465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 139 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 140 | ixi 10656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 141 | 140 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 142 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 143 | 142 | mulm1d 10482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 144 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 143, 144 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 141, 145 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 136, 136, 142 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 148 | 140 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 149 | 64 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 150 | 149 | mulm1d 10482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 151 | 148, 150 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 152 | 136, 136, 149 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 153 | 151, 152 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 154 | 153 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 155 | 146, 147, 154 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 156 | 136, 137, 139, 155 | mvllmuld 10857 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 157 | 76 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 158 | reim 13849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 159 | 158 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 160 | 159 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 161 | 160 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 162 | 157, 161 | reim0bd 13940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 163 | tanhbnd 14891 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 164 | 162, 163 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 165 | 156, 164 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 166 | 135, 165 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 167 | readdcl 10019 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 168 | 134, 166, 167 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 169 | df-neg 10269 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 170 | eliooord 12233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 171 | 165, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 172 | 171 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 173 | 169, 172 | syl5eqbrr 4689 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 174 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 175 | 134 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 176 | 174, 175, 166 | ltsubadd2d 10625 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 177 | 173, 176 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 178 | 168, 177 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . 11
 |
| 179 | 178 | relogcld 24369 |
. . . . . . . . . 10
|
| 180 | 171 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 181 | difrp 11868 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 182 | 166, 134, 181 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 180, 182 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 183 | relogcld 24369 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 179, 184 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . 9
|
| 186 | relogrn 24308 |
. . . . . . . . 9
| |
| 187 | 185, 186 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 188 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
arctan |
| 189 | 64 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 190 | 189 | recld 13934 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 191 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 192 | 104 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 193 | 192 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 194 | elioo2 12216 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 195 | 111, 112, 194 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 196 | 190, 191, 193, 195 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 197 | tanregt0 24285 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 198 | 189, 196, 197 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
| 199 | 198 | gt0ne0d 10592 |
. . . . . . . . 9
|
| 200 | 188, 199, 132 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
| 201 | recl 13850 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 202 | 201 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
| 203 | 0re 10040 |
. . . . . . . . 9
| |
| 204 | lttri4 10122 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 205 | 202, 203, 204 | sylancl 694 |
. . . . . . . 8
|
| 206 | 133, 187, 200, 205 | mpjao3dan 1395 |
. . . . . . 7
|
| 207 | logef 24328 |
. . . . . . 7
| |
| 208 | 206, 207 | syl 17 |
. . . . . 6
|
| 209 | 2cn 11091 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | mulcl 10020 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 76, 210 | sylancr 695 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | picn 24211 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 213 | 2ne0 11113 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 214 | divneg 10719 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 215 | 212, 209, 213, 214 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 216 | 215, 105 | syl5eqbrr 4689 |
. . . . . . . . . 10
|
| 217 | pire 24210 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 218 | 217 | renegcli 10342 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 219 | 218 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 220 | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 221 | 220 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 222 | 2pos 11112 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 223 | 222 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 224 | ltdivmul 10898 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 225 | 219, 202, 221, 223, 224 | syl112anc 1330 |
. . . . . . . . . 10
|
| 226 | 216, 225 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
|
| 227 | immul2 13877 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 228 | 220, 76, 227 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
|
| 229 | 159 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
|
| 230 | 228, 229 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . 9
|
| 231 | 226, 230 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . 8
|
| 232 | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 233 | 220, 202, 232 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
|
| 234 | 217 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
| 235 | ltmuldiv2 10897 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 236 | 202, 234, 221, 223, 235 | syl112anc 1330 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 237 | 192, 236 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
|
| 238 | 233, 234, 237 | ltled 10185 |
. . . . . . . . 9
 |
| 239 | 230, 238 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . 8
|
| 240 | ellogrn 24306 |
. . . . . . . 8
| |
| 241 | 211, 231, 239, 240 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . . 7
|
| 242 | logef 24328 |
. . . . . . 7
| |
| 243 | 241, 242 | syl 17 |
. . . . . 6
|
| 244 | 93, 208, 243 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . 5
|
| 245 | 244 | negeqd 10275 |
. . . 4
|
| 246 | 22, 245 | eqtr3d 2658 |
. . 3
|
| 247 | 246 | oveq2d 6666 |
. 2
|
| 248 | halfcl 11257 |
. . . . 5
| |
| 249 | 7, 248 | mp1i 13 |
. . . 4
|
| 250 | 209 | a1i 11 |
. . . 4
|
| 251 | 249, 250, 79 | mulassd 10063 |
. . 3
|
| 252 | 7, 209, 213 | divcan1i 10769 |
. . . . 5
|
| 253 | 252 | oveq1i 6660 |
. . . 4
|
| 254 | 33, 33, 51 | mulassd 10063 |
. . . . 5
|
| 255 | 140 | oveq1i 6660 |
. . . . . 6
|
| 256 | mul2neg 10469 |
. . . . . . . 8
| |
| 257 | 6, 64, 256 | sylancr 695 |
. . . . . . 7
|
| 258 | mulid2 10038 |
. . . . . . . 8
| |
| 259 | 258 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
| 260 | 257, 259 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
|
| 261 | 255, 260 | syl5eq 2668 |
. . . . 5
|
| 262 | 66 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
|
| 263 | 254, 261, 262 | 3eqtr3rd 2665 |
. . . 4
|
| 264 | 253, 263 | syl5eq 2668 |
. . 3
|
| 265 | mulneg2 10467 |
. . . . 5
| |
| 266 | 209, 76, 265 | sylancr 695 |
. . . 4
|
| 267 | 266 | oveq2d 6666 |
. . 3
|
| 268 | 251, 264, 267 | 3eqtr3rd 2665 |
. 2
|
| 269 | 5, 247, 268 | 3eqtrd 2660 |
1
arctan |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wb 196 wa 384 w3o 1036 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 class class class wbr 4653
cdm 5114
crn 5115
cfv 5888
(class class class)co 6650 cc 9934 cr 9935 cc0 9936 c1 9937 ci 9938 caddc 9939 cmul 9941 cxr 10073 clt 10074 cle 10075 cmin 10266 cneg 10267 cdiv 10684 c2 11070 crp 11832 cioo 12175 cre 13837 cim 13838 ce 14792 csin 14794 ccos 14795 ctan 14796 cpi 14797 clog 24301 arctancatan 24591 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-atan 24594 |
| This theorem is referenced by: atantanb 24651 atan1 24655 |
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