altgsumbcALT - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem altgsumbcALT 42131

Description: Alternate proof of altgsumbc 42130, using Pascal's rule (bcpascm1 42129) instead of the binomial theorem (binom 14562). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
altgsumbcALT

Distinct variable group:

Proof of Theorem altgsumbcALT Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12342	. . . . . . 7
2		bcpascm1 42129	. . . . . . 7 $/\$
3	1, 2	sylan2 491	. . . . . 6 $/\$
4	3	eqcomd 2628	. . . . 5 $/\$
5	4	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$
6		ax-1cn 9994	. . . . . . 7
7		negcl 10281	. . . . . . . 8
8		elfznn0 12433	. . . . . . . 8
9		expcl 12878	. . . . . . . 8 $/\$
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$
11	6, 10	mpan 706	. . . . . 6
12	11	adantl 482	. . . . 5 $/\$
13		nnm1nn0 11334	. . . . . 6
14		bccl 13109	. . . . . . 7 $/\$
15	14	nn0cnd 11353	. . . . . 6 $/\$
16	13, 1, 15	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
17		peano2zm 11420	. . . . . . 7
18	1, 17	syl 17	. . . . . 6
19		bccl 13109	. . . . . . 7 $/\$
20	19	nn0cnd 11353	. . . . . 6 $/\$
21	13, 18, 20	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
22	12, 16, 21	adddid 10064	. . . 4 $/\$
23	5, 22	eqtrd 2656	. . 3 $/\$
24	23	sumeq2dv 14433	. 2
25		fzfid 12772	. . . 4
26		neg1cn 11124	. . . . . . 7
27	26	a1i 11	. . . . . 6
28	27, 8, 9	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
29	28, 16	mulcld 10060	. . . 4 $/\$
30		1z 11407	. . . . . . . 8
31	30	a1i 11	. . . . . . 7
32	1, 31	zsubcld 11487	. . . . . 6
33	13, 32, 20	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
34	28, 33	mulcld 10060	. . . 4 $/\$
35	25, 29, 34	fsumadd 14470	. . 3
36	30	a1i 11	. . . . . 6
37		0zd 11389	. . . . . 6
38		nnz 11399	. . . . . 6
39		oveq2 6658	. . . . . . 7
40		oveq2 6658	. . . . . . 7
41	39, 40	oveq12d 6668	. . . . . 6
42	36, 37, 38, 29, 41	fsumshft 14512	. . . . 5
43		0p1e1 11132	. . . . . . . 8
44	43	oveq1i 6660	. . . . . . 7
45	44	a1i 11	. . . . . 6
46	45	sumeq1d 14431	. . . . 5
47		elnnuz 11724	. . . . . . . 8
48	47	biimpi 206	. . . . . . 7
49	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
50		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11
51		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
54	49, 53	expcld 13008	. . . . . . . 8 $/\$
55		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10
56		elfzel1 12341	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9
58		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 $/\$
59	58	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
60	13, 57, 59	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$
61	54, 60	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
62		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
64	62	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
65	63, 64	oveq12d 6668	. . . . . . 7
66	48, 61, 65	fsump1 14487	. . . . . 6
67		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13
68		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . 13
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
70		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12
71	69, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11
72	71	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10
73		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
74		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . 13
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
76	75, 69	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11
77	76	olcd 408	. . . . . . . . . 10 $\/$
78		bcval4 13094	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
79	13, 72, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
81	27, 71	expcld 13008	. . . . . . . . 9
82	81	mul01d 10235	. . . . . . . 8
83	80, 82	eqtrd 2656	. . . . . . 7
84	83	oveq2d 6666	. . . . . 6
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
87	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
89	88	cbvsumv 14426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . 7
92		fzfid 12772	. . . . . . . . 9
93	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
94		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13
95		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
98	93, 97	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 $/\$
99		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13
100		elfzel1 12341	. . . . . . . . . . . . 13
101	99, 100	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12
102	13, 101, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
103	102	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 $/\$
104	98, 103	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
105	92, 104	fsumcl 14464	. . . . . . . 8
106	105	addid1d 10236	. . . . . . 7
107	91, 106	eqtrd 2656	. . . . . 6
108	66, 84, 107	3eqtrd 2660	. . . . 5
109	42, 46, 108	3eqtrd 2660	. . . 4
110		elnn0uz 11725	. . . . . . 7
111	70, 110	sylib 208	. . . . . 6
112		oveq2 6658	. . . . . . 7
113		oveq1 6657	. . . . . . . 8
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . 7
115	112, 114	oveq12d 6668	. . . . . 6
116	111, 34, 115	fsum1p 14482	. . . . 5
117	27	exp0d 13002	. . . . . . . 8
118		0z 11388	. . . . . . . . . . 11
119		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 $/\$
120	118, 30, 119	mp2an 708	. . . . . . . . . 10
121	120	a1i 11	. . . . . . . . 9
122		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
123		ltm1 10863	. . . . . . . . . . 11
124	122, 123	mp1i 13	. . . . . . . . . 10
125	124	orcd 407	. . . . . . . . 9 $\/$
126		bcval4 13094	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
127	13, 121, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . 8
128	117, 127	oveq12d 6668	. . . . . . 7
129	6	a1i 11	. . . . . . . 8
130	129	mul01d 10235	. . . . . . 7
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . 6
132	43	a1i 11	. . . . . . . . 9
133	132	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
134	99	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
135		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . 15
136	135	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14
137	134, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		expp1 12867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
141	27, 96, 140	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	139, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
144	98, 93	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 $/\$
145	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
146	93, 98, 103	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$
147	143, 145, 146	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$
148	133, 147	sumeq12rdv 14438	. . . . . . 7
149	92, 27, 104	fsummulc2 14516	. . . . . . 7
150	148, 149	eqtr4d 2659	. . . . . 6
151	131, 150	oveq12d 6668	. . . . 5
152	27, 105	mulcld 10060	. . . . . 6
153	152	addid2d 10237	. . . . 5
154	116, 151, 153	3eqtrd 2660	. . . 4
155	109, 154	oveq12d 6668	. . 3
156	35, 155	eqtrd 2656	. 2
157	105	mulm1d 10482	. . . 4
158	157	oveq2d 6666	. . 3
159	105	negidd 10382	. . 3
160	158, 159	eqtrd 2656	. 2
161	24, 156, 160	3eqtrd 2660	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

csu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)

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