Theorem ltflcei 33397

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 12601	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		renegcl 10344	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
4		flval 12595	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
6	5	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
7		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
10		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	12, 13	mpd3an3 1425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
17	11, 16	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
18	15, 17	sylibd 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
19	18	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
20		ltneg 10528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
21	9, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
22	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
23		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24		negdi2 10339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) )
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) )
26		negcl 10281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> -u ( |_ ` A ) e. CC )
27		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
28	26, 27	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
29	25, 28	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
30	22, 23, 29	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
33	21, 32	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
34	33	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B -> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
35	19, 34	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
36	35	ancomsd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
37	36	impl 650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
38		flcl 12596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
39	38	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
40	39	znegcld 11484	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
41		rebtwnz 11787	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
43		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x <_ -u B <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
45	44	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( -u B < ( x + 1 ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
46	43, 45	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) <-> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
47	46	riota2 6633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
48	40, 42, 47	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
50	37, 49	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
51	6, 50	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
52	38	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
53		peano2cn 10208	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
55	3	flcld 12599	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
56	55	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. CC )
57		negcon2 10334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC /\ ( |_ ` -u B ) e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
58	54, 56, 57	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
60	51, 59	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
61	2, 60	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
62	61	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
63		ltnle 10117	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
64		ceige 12644	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
65	64	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
66		ceicl 12642	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
67	66	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
68	67	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
69		ltletr 10129	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -u ( |_ ` -u B ) e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
70	68, 69	mpd3an3 1425	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
71	65, 70	mpan2d 710	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
72	63, 71	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
73	72	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
74	62, 73	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
75		flval 12595	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
76	75	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
77		ceim1l 12646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
79		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
82		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
83	82	3com13 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
84	81, 83	mpd3an3 1425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
85	78, 84	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
86	66	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. CC )
87		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( |_ ` -u B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
88	86, 23, 87	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
89	88	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
90	89	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
92	85, 91	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
93	92	ancomsd 470	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < -u ( |_ ` -u B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	93	impl 650	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
95		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
97		rebtwnz 11787	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
98		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x <_ A <-> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) )
100	99	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
101	98, 100	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
102	101	riota2 6633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
103	96, 97, 102	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
104	103	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
105	94, 104	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
106	76, 105	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
107	77	ad3antlr 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
108	106, 107	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) < B )
109	108	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
110		flle 12600	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
111	110	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
112	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
113		lelttr 10128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
114	113	3coml 1272	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
115	112, 114	mpd3an3 1425	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
116	111, 115	mpand 711	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( |_ ` A ) < B ) )
117	63, 116	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
118	117	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
119	109, 118	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( |_ ` A ) < B )
120	74, 119	impbida 877	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  leceifl  33398