Theorem etransclem46 40497

Description: This is the proof for equation *(7) in [Juillerat] p. 12. The proven equality will lead to a contradiction, because the left-hand side goes to 0 for large P, but the right-hand side is a nonzero integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem46.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem46.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem46.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem46.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem46.rex	|- ( ph -> RR C_ RR )
etransclem46.s	|- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
etransclem46.x	|- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
etransclem46.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem46.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem46.l	|- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
etransclem46.r	|- R = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) )
etransclem46.g	|- G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
etransclem46.h	|- O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem46	|- ( ph -> ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, i, j, k   i, F, j, k, x   j, G, x   i, M, j, k, x   x, O   P, j, k, x   Q, j   R, i, j, k, x   ph, i, j, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   P( i)   Q( x, i, k)   G( i, k)   L( x, i, j, k)   O( i, j, k)

Proof of Theorem etransclem46

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem46.l	. . . 4 |- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) )
3		etransclem46.h	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )
4	3	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D O ) = ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) )
6		etransclem46.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. { RR , CC } )
8		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _e e. RR
9	8	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- _e e. CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> _e e. CC )
11		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> x e. CC )
12	11	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> -u x e. CC )
13	10, 12	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
16		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 0 ... R ) e. Fin )
17		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... R ) -> i e. NN0 )
18	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> RR e. { RR , CC } )
19		etransclem46.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
21		etransclem46.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P e. NN )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> P e. NN )
23		etransclem46.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- M = (deg ` Q )
24		etransclem46.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
25	24	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
26		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
28	23, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> M e. NN0 )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> M e. NN0 )
30		etransclem46.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
32	18, 20, 22, 29, 30, 31	etransclem33 40484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
33	17, 32	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
34	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
35		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> x e. RR )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC )
37	16, 36	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC )
38		etransclem46.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
39	38	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
40	15, 37, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
41	40, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) e. CC )
42	14, 41	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
43	42	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
44	43	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
45	6, 19	dvdmsscn 40151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> RR C_ CC )
46	45, 21, 30	etransclem8 40459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : RR --> CC )
47	46	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
48	14, 47	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
49	48	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
50	49	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. RR ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
52	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> _e e. RR )
53		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. RR
54		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < _e
55	53, 8, 54	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ _e
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> 0 <_ _e )
57		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
58	52, 56, 57	recxpcld 24469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( _e ^c -u x ) e. RR )
59	58	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> -u ( _e ^c -u x ) e. RR )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( _e ^c -u x ) e. RR )
61		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- RR e. { RR , CC }
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
63		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
65	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u x e. CC )
66		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -u 1 e. RR
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u 1 e. RR )
68	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC -> _e e. CC )
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC -> y e. CC )
70	68, 69	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> ( _e ^c y ) e. CC )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ y e. CC ) -> ( _e ^c y ) e. CC )
72	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> x e. CC )
73		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> 1 e. RR )
74	62	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
75	62, 72, 73, 74	dvmptneg 23729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u x ) ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) )
76		epr 14936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR+
77		dvcxp2 24482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( _e e. RR+ -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) )
79		loge 24333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( log ` _e ) = 1
80	79	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) = ( 1 x. ( _e ^c y ) )
81	70	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. CC -> ( 1 x. ( _e ^c y ) ) = ( _e ^c y ) )
82	80, 81	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. CC -> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) = ( _e ^c y ) )
83	82	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) )
84	78, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) )
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = -u x -> ( _e ^c y ) = ( _e ^c -u x ) )
87	62, 64, 65, 67, 71, 71, 75, 85, 86, 86	dvmptco 23735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) ) )
88	87	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) )
89	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR -> -u 1 e. RR )
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> -u 1 e. CC )
91	13, 90	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( _e ^c -u x ) ) )
92	13	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( -u 1 x. ( _e ^c -u x ) ) = -u ( _e ^c -u x ) )
93	91, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) = -u ( _e ^c -u x ) )
94	93	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) )
95	88, 94	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) )
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) ) )
97	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> i e. NN0 )
98		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN0 )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( i + 1 ) e. NN0 )
100		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i + 1 ) e. _V
101		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( j e. NN0 <-> ( i + 1 ) e. NN0 ) )
102	101	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ph /\ j e. NN0 ) <-> ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) )
104	103	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC <-> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC ) )
105	102, 104	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) <-> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC ) ) )
106		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = j -> ( i e. NN0 <-> j e. NN0 ) )
107	106	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. NN0 ) <-> ( ph /\ j e. NN0 ) ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = j -> ( ( RR Dn F ) ` i ) = ( ( RR Dn F ) ` j ) )
109	108	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = j -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC <-> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) )
110	107, 109	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC ) <-> ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) ) )
111	110, 32	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
112	100, 105, 111	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
113	99, 112	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
114	113	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
115	114, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) e. CC )
116	16, 115	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) e. CC )
117	21, 28, 30, 38	etransclem39 40490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G : RR --> CC )
118	117	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) )
119	118	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) = G )
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) ) = ( RR _D G ) )
121		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x F
122		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) -> i e. NN0 )
123	122, 32	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
124	121, 46, 123, 38	etransclem2 40453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D G ) = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
125	120, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
126	6, 14, 60, 96, 41, 116, 125	dvmptmul 23724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) ) )
127	116, 14	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) = ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) ) )
129	14	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( _e ^c -u x ) e. CC )
130	129, 41	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
131	14, 116	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) e. CC )
132	130, 131	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
133	131, 42	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) - ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
134	14, 41	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
136	116, 41, 14	subdir2d 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) - ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
137	133, 135, 136	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
138	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
139	16, 115, 36	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
140		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = i -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` i ) )
141	140	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = i -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
142	103	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = 0 -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` 0 ) )
144	143	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = 0 -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) )
145		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( R + 1 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) )
146	145	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( R + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) )
147		etransclem46.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- R = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) )
148	21	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> P e. NN0 )
149	28, 148	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M x. P ) e. NN0 )
150		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
151	21, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
152	149, 151	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) e. NN0 )
153	147, 152	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> R e. NN0 )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. NN0 )
155	154	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. ZZ )
156		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( R e. NN0 -> ( R + 1 ) e. NN0 )
157	153, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. NN0 )
158		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
159	157, 158	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
161		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) -> j e. NN0 )
162	161, 111	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
163	162	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
164		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> x e. RR )
165	163, 164	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) e. CC )
166	141, 142, 144, 146, 155, 160, 165	telfsum2 14537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) )
167	138, 139, 166	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) ) )
169	153	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> R e. RR )
170	169	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R < ( R + 1 ) )
171	147, 170	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) < ( R + 1 ) )
172		etransclem5 40456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
173	6, 19, 21, 28, 30, 157, 171, 172	etransclem32 40483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) = ( x e. RR |-> 0 ) )
174	173	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) )
175		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. RR |-> 0 ) = ( x e. RR |-> 0 )
176	175	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) = 0 )
177	53, 176	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) = 0 )
178	174, 177	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) = 0 )
179		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- CC e. _V
180	179	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> CC e. _V )
181		etransclem46.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> RR C_ RR )
182	6, 181	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> RR e. _V )
183		elpm2r 7875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : RR --> CC /\ RR C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
184	180, 182, 46, 181, 183	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
185		dvn0 23687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( RR C_ CC /\ F e. ( CC ^pm RR ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` 0 ) = F )
186	45, 184, 185	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` 0 ) = F )
187	186	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) = ( F ` x ) )
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) = ( F ` x ) )
189	178, 188	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) = ( 0 - ( F ` x ) ) )
190		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u ( F ` x ) = ( 0 - ( F ` x ) )
191	189, 190	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) = -u ( F ` x ) )
192	191	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
193	137, 168, 192	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
194	128, 132, 193	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
195	194	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) ) )
196	14, 47	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
197	196	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
198	126, 195, 197	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
199	6, 42, 49, 198	dvmptneg 23729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
200	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
201		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
202		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
203	202	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR )
204	203	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. RR )
205	201, 204	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ RR )
206		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
207	206	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
208		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 e. RR )
209		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
210	208, 203, 209	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
211	210	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
212	7, 44, 51, 200, 205, 207, 206, 211	dvmptres2 23725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
213	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> _e e. CC )
214		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. RR )
215	214	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. CC )
216	215	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. CC )
217	216	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u x e. CC )
218	213, 217	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
219	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> F : RR --> CC )
220	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. RR )
221	219, 220	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
222	218, 221	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
223	222	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
224	223	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
226	5, 212, 225	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
227	226	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( RR _D O ) ` x ) = ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) )
228	227	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( RR _D O ) ` x ) = ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) )
229		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. ( 0 (,) j ) )
230		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
231	230	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
232	229, 222, 231	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
233	232	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
234	228, 233	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) = ( ( RR _D O ) ` x ) )
235	234	itgeq2d 40199	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) j ) ( ( RR _D O ) ` x ) _d x )
236		elfzle1 12344	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ j )
237	236	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ j )
238		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
239		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) )
240	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) /\ y = -u x ) -> ( _e ^c y ) = ( _e ^c -u x ) )
241	208, 203	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 0 [,] j ) C_ RR )
242		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- RR C_ CC
243	241, 242	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
244	243	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. CC )
245	244	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> -u x e. CC )
246	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> _e e. CC )
247		negcl 10281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
248	246, 247	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
249	244, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
250	239, 240, 245, 249	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) = ( _e ^c -u x ) )
251	250	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) = ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) )
252	251	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) = ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) )
253	252	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( _e ^c -u x ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) ) )
254		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> -oo e. RR* )
256		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> 0 e. RR )
257		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> _e e. RR* )
258		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> 0 < _e )
259	255, 256, 257, 258	gtnelioc 39712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e e. RR+ -> -. _e e. ( -oo (,] 0 ) )
260	76, 259	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. _e e. ( -oo (,] 0 )
261		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) <-> ( _e e. CC /\ -. _e e. ( -oo (,] 0 ) ) )
262	9, 260, 261	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
263		cxpcncf2 40113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
264	262, 263	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
265		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x )
266	265	negcncf 22721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 [,] j ) C_ CC -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
267	243, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
268	267	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
269	264, 268	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
270	253, 269	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( _e ^c -u x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
271	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> RR C_ CC )
272	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN )
273	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> M e. NN0 )
274		etransclem6 40457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( y - k ) ^ P ) ) )
275	30, 274	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( y - k ) ^ P ) ) )
276	241	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. RR )
277	276	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. RR )
278	271, 272, 273, 275, 277	etransclem13 40464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( F ` x ) = prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
279	278	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
280	243	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
281		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
282	277	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. CC )
283	282	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> x e. CC )
284		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. ZZ )
285	284	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. CC )
286	285	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
287	283, 286	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - k ) e. CC )
288	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN )
289	288, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
290	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN0 )
291	289, 290	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
292	291	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
293	292	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
294	287, 293	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
295		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) )
296	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
297		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- CC C_ CC
298	297	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
299	296, 298	idcncfg 40085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
300	285	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
301	296, 300, 298	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> k ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
302	299, 301	subcncf 40082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( x - k ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
303	302	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( x - k ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
304	151, 148	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
305		expcncf 22725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
306	304, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
307	306	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
308	297	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
309		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x - k ) -> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) = ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
310	295, 303, 307, 308, 309	cncfcompt2 40112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
311	280, 281, 294, 310	fprodcncf 40114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
312	279, 311	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
313	270, 312	mulcncf 23215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
314		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) j ) C_ ( 0 [,] j )
315	314	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 (,) j ) C_ ( 0 [,] j ) )
316	297	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
317	222	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
318	238, 313, 315, 316, 317	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) j ) -cn-> CC ) )
319	226, 318	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) e. ( ( 0 (,) j ) -cn-> CC ) )
320	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
321	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
322	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> M e. NN0 )
323		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( x - j ) = ( x - k ) )
324	323	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( ( x - j ) ^ P ) = ( ( x - k ) ^ P ) )
325	324	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . 13 |- prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P )
326	325	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) = ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) )
327	326	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
328	30, 327	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
329	7, 320, 321, 322, 328, 201, 204	etransclem18 40469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
330	226, 329	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) e. L^1 )
331		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( G ` x ) )
332	6, 19, 21, 28, 30, 38	etransclem43 40494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ( RR -cn-> CC ) )
333	119, 332	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
334	333	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
335	117	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> G : RR --> CC )
336	335, 277	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
337	331, 334, 205, 316, 336	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
338	270, 337	mulcncf 23215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
339	338	negcncfg 40094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
340	3, 339	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> O e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
341	201, 204, 237, 319, 330, 340	ftc2 23807	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( RR _D O ) ` x ) _d x = ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) )
342	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
343		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> -u x = -u j )
344	343	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( _e ^c -u x ) = ( _e ^c -u j ) )
345		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( G ` x ) = ( G ` j ) )
346	344, 345	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
347	346	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
348	347	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = j ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
349	201	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR* )
350	204	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. RR* )
351		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ 0 <_ j ) -> j e. ( 0 [,] j ) )
352	349, 350, 237, 351	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 [,] j ) )
353	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> _e e. CC )
354	203	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
355	354	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> -u j e. CC )
356	353, 355	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c -u j ) e. CC )
357	356	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c -u j ) e. CC )
358	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> G : RR --> CC )
359	358, 204	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. CC )
360	357, 359	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) e. CC )
361	360	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) e. CC )
362	342, 348, 352, 361	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( O ` j ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
363		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> -u x = -u 0 )
364	363	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( _e ^c -u x ) = ( _e ^c -u 0 ) )
365		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u 0 = 0
366	365	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e ^c -u 0 ) = ( _e ^c 0 )
367		cxp0 24416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. CC -> ( _e ^c 0 ) = 1 )
368	9, 367	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e ^c 0 ) = 1
369	366, 368	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _e ^c -u 0 ) = 1
370	364, 369	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0 -> ( _e ^c -u x ) = 1 )
371		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0 -> ( G ` x ) = ( G ` 0 ) )
372	370, 371	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 x. ( G ` 0 ) ) )
373		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. RR )
374	117, 373	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` 0 ) e. CC )
375	374	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. ( G ` 0 ) ) = ( G ` 0 ) )
376	372, 375	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( G ` 0 ) )
377	376	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( G ` 0 ) )
378	377	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = 0 ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( G ` 0 ) )
379		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ 0 <_ j ) -> 0 e. ( 0 [,] j ) )
380	349, 350, 237, 379	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ( 0 [,] j ) )
381	374	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( G ` 0 ) e. CC )
382	381	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( G ` 0 ) e. CC )
383	342, 378, 380, 382	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( O ` 0 ) = -u ( G ` 0 ) )
384	362, 383	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) = ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) - -u ( G ` 0 ) ) )
385	374	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` 0 ) e. CC )
386	361, 385	subnegd 10399	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) - -u ( G ` 0 ) ) = ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) )
387	361, 385	addcomd 10238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) + -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
388	385, 360	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( G ` 0 ) + -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
389	387, 388	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
390	384, 386, 389	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
391	235, 341, 390	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
392	391	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
393	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
394		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
395		etransclem46.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (coeff ` Q )
396	395	coef2 23987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
397	393, 394, 396	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
398		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
399	398	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
400	397, 399	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
401	400	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
402	353, 354	cxpcld 24454	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
403	402	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
404	401, 403	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
405	404, 385, 360	subdid 10486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
406	392, 405	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
407	406	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
408		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
409	404, 385	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) e. CC )
410	404, 360	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) e. CC )
411	408, 409, 410	fsumsub 14520	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
412		etransclem46.qe0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
413	412	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 = ( Q ` _e ) )
414	395, 23	coeid2 23995	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ _e e. CC ) -> ( Q ` _e ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) )
415	25, 9, 414	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) )
416		cxpexp 24414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( _e ^c j ) = ( _e ^ j ) )
417	353, 398, 416	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c j ) = ( _e ^ j ) )
418	417	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^ j ) = ( _e ^c j ) )
419	418	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
420	419	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
421	420	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
422	413, 415, 421	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
423	422	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 x. ( G ` 0 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) )
424	374	mul02d 10234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 x. ( G ` 0 ) ) = 0 )
425	408, 374, 404	fsummulc1 14517	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) )
426	423, 424, 425	3eqtr3rd 2665	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) = 0 )
427	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
428		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
429	428	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
430	429	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = j ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
431		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... R ) e. Fin )
432	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
433	204	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> j e. RR )
434	432, 433	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) e. CC )
435	431, 434	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) e. CC )
436	427, 430, 204, 435	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` j ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
437	436	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) = ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
438	437	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) )
439	357, 435	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) e. CC )
440	401, 403, 439	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) = ( ( A ` j ) x. ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) ) )
441	368	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( _e ^c 0 )
442	441	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 1 = ( _e ^c 0 ) )
443	354	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j + -u j ) = 0 )
444	443	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 = ( j + -u j ) )
445	444	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c 0 ) = ( _e ^c ( j + -u j ) ) )
446	53, 54	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
447	446	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> _e =/= 0 )
448	353, 447, 354, 355	cxpaddd 24463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c ( j + -u j ) ) = ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) )
449	442, 445, 448	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 1 = ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) )
450	449	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
451	450	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
452	435	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
453	403, 357, 435	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) )
454	451, 452, 453	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
455	454	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) ) = ( ( A ` j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
456	431, 401, 434	fsummulc2 14516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
457	455, 456	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
458	438, 440, 457	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
459	458	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
460		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- j e. _V
461		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- i e. _V
462	460, 461	op1std 7178	. . . . . . . . 9 |- ( k = <. j , i >. -> ( 1st ` k ) = j )
463	462	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = <. j , i >. -> ( A ` ( 1st ` k ) ) = ( A ` j ) )
464	460, 461	op2ndd 7179	. . . . . . . . . 10 |- ( k = <. j , i >. -> ( 2nd ` k ) = i )
465	464	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = <. j , i >. -> ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) = ( ( RR Dn F ) ` i ) )
466	465, 462	fveq12d 6197	. . . . . . . 8 |- ( k = <. j , i >. -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) = ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
467	463, 466	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = <. j , i >. -> ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) = ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
468		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... R ) e. Fin )
469	401	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
470	434	anasss 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) e. CC )
471	469, 470	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) e. CC )
472	467, 408, 468, 471	fsumxp 14503	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( A ` j ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
473	459, 472	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
474	426, 473	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = ( 0 - sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) ) )
475		df-neg 10269	. . . . . 6 |- -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) = ( 0 - sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
476	475	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( 0 - sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) ) = -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) )
477	476	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 - sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) ) = -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
478	411, 474, 477	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
479	2, 407, 478	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> L = -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) )
480	479	oveq1d 6665	1 |- ( ph -> ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   _eceu 14793   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   S.citg 23387   0pc0p 23436   _D cdv 23627   Dncdvn 23628  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  etransclem47  40498