Theorem spanunsni 28438

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	|- A e. CH
spanunsn.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	|- ( span ` ( A u. { B } ) ) = ( span ` ( A u. { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 |- A e. CH
2	1	chshii 28084	. . . . . 6 |- A e. SH
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 |- B e. ~H
4		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
5		spancl 28195	. . . . . . 7 |- ( { B } C_ ~H -> ( span ` { B } ) e. SH )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( span ` { B } ) e. SH
7	2, 6	shseli 28175	. . . . 5 |- ( x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) <-> E. y e. A E. z e. ( span ` { B } ) x = ( y +h z ) )
8	3	elspansni 28417	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( span ` { B } ) <-> E. w e. CC z = ( w .h B ) )
9	1, 3	pjclii 28280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( proj h ` A ) ` B ) e. A
10		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. SH /\ w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. A ) -> ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A )
11	2, 9, 10	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. CC -> ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A )
12		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. SH /\ y e. A /\ ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) e. A )
13	11, 12	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) e. A )
14	2, 13	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) e. A )
15	1	choccli 28166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _|_ ` A ) e. CH
16	15, 3	pjhclii 28281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) e. ~H
17		spansnmul 28423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) e. ~H /\ w e. CC ) -> ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
18	16, 17	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. CC -> ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
20	1, 3	pjpji 28283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = ( ( ( proj h ` A ) ` B ) +h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) )
21	20	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w .h B ) = ( w .h ( ( ( proj h ` A ) ` B ) +h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) )
22	1, 3	pjhclii 28281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( proj h ` A ) ` B ) e. ~H
23		ax-hvdistr1 27865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. ~H /\ ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) e. ~H ) -> ( w .h ( ( ( proj h ` A ) ` B ) +h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
24	22, 16, 23	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. CC -> ( w .h ( ( ( proj h ` A ) ` B ) +h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
25	21, 24	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. CC -> ( w .h B ) = ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( w .h B ) = ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h B ) ) = ( y +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
28	1	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. A -> y e. ~H )
29		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. ~H ) -> ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H )
30	22, 29	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. CC -> ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H )
31		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. CC /\ ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) e. ~H ) -> ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H )
32	16, 31	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. CC -> ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H )
33	30, 32	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. CC -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) )
34		ax-hvass 27859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) -> ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( y +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
35	34	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ~H /\ ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) ) -> ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( y +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
36	28, 33, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( y +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
37	27, 36	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h B ) ) = ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
38		rspceov 6692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) e. A /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) /\ ( y +h ( w .h B ) ) = ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) -> E. v e. A E. u e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ( y +h ( w .h B ) ) = ( v +h u ) )
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> E. v e. A E. u e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ( y +h ( w .h B ) ) = ( v +h u ) )
40		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) e. ~H -> { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } C_ ~H )
41		spancl 28195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } C_ ~H -> ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) e. SH )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) e. SH
43	2, 42	shseli 28175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +h ( w .h B ) ) e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) <-> E. v e. A E. u e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ( y +h ( w .h B ) ) = ( v +h u ) )
44	39, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h B ) ) e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w .h B ) -> ( y +h z ) = ( y +h ( w .h B ) ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w .h B ) -> ( x = ( y +h z ) <-> x = ( y +h ( w .h B ) ) ) )
47	46	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = ( w .h B ) /\ x = ( y +h z ) ) -> x = ( y +h ( w .h B ) ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y +h ( w .h B ) ) -> ( x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) <-> ( y +h ( w .h B ) ) e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) ) )
49	48	biimparc 504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +h ( w .h B ) ) e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) /\ x = ( y +h ( w .h B ) ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
50	44, 47, 49	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ w e. CC ) /\ ( z = ( w .h B ) /\ x = ( y +h z ) ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
51	50	exp43 640	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( w e. CC -> ( z = ( w .h B ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) ) ) ) )
52	51	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( E. w e. CC z = ( w .h B ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) ) ) )
53	8, 52	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( z e. ( span ` { B } ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) ) ) )
54	53	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( E. z e. ( span ` { B } ) x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) ) )
55	54	rexlimiv 3027	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. z e. ( span ` { B } ) x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
56	7, 55	sylbi 207	. . . 4 |- ( x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
57	2, 42	shseli 28175	. . . . 5 |- ( x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) <-> E. y e. A E. z e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) x = ( y +h z ) )
58	16	elspansni 28417	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) <-> E. w e. CC z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) )
59		negcl 10281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. CC -> -u w e. CC )
60		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. SH /\ -u w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. A ) -> ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A )
61	2, 9, 60	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u w e. CC -> ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A )
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. CC -> ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A )
63		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. SH /\ ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. A /\ y e. A ) -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) e. A )
64	62, 63	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. SH /\ w e. CC /\ y e. A ) -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) e. A )
65	2, 64	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. CC /\ y e. A ) -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) e. A )
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) e. A )
67		spansnmul 28423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. ~H /\ w e. CC ) -> ( w .h B ) e. ( span ` { B } ) )
68	3, 67	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. CC -> ( w .h B ) e. ( span ` { B } ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( w .h B ) e. ( span ` { B } ) )
70		hvm1neg 27889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. ~H ) -> ( -u 1 .h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) = ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) )
71	22, 70	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. CC -> ( -u 1 .h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) = ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. CC -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u 1 .h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) ) = ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) )
73		hvnegid 27884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u 1 .h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) ) = 0h )
74	30, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. CC -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u 1 .h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) ) = 0h )
75		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -u w e. CC /\ ( ( proj h ` A ) ` B ) e. ~H ) -> ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H )
76	59, 22, 75	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. CC -> ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H )
77		ax-hvcom 27858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H ) -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) = ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) )
78	30, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. CC -> ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) = ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) )
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. CC -> 0h = ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> 0h = ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( 0h +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
82		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ~H )
83	28, 32, 82	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ~H )
84		hvaddid2 27880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ~H -> ( 0h +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( 0h +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
86	76, 30	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. CC -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H ) )
88	28, 32	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) )
89		hvadd4 27893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) e. ~H ) /\ ( y e. ~H /\ ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) e. ~H ) ) -> ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
90	87, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) ) +h ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
92	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( w .h B ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( ( w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
93	91, 92	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( w .h B ) ) )
94		rspceov 6692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) e. A /\ ( w .h B ) e. ( span ` { B } ) /\ ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( ( ( -u w .h ( ( proj h ` A ) ` B ) ) +h y ) +h ( w .h B ) ) ) -> E. v e. A E. u e. ( span ` { B } ) ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( v +h u ) )
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> E. v e. A E. u e. ( span ` { B } ) ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( v +h u ) )
96	2, 6	shseli 28175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ( A +H ( span ` { B } ) ) <-> E. v e. A E. u e. ( span ` { B } ) ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) = ( v +h u ) )
97	95, 96	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ w e. CC ) -> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ( A +H ( span ` { B } ) ) )
98		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) -> ( y +h z ) = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
99	98	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) -> ( x = ( y +h z ) <-> x = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) )
100	99	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) /\ x = ( y +h z ) ) -> x = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) )
101		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) -> ( x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) <-> ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ( A +H ( span ` { B } ) ) ) )
102	101	biimparc 504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) e. ( A +H ( span ` { B } ) ) /\ x = ( y +h ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) )
103	97, 100, 102	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ w e. CC ) /\ ( z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) /\ x = ( y +h z ) ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) )
104	103	exp43 640	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( w e. CC -> ( z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) ) ) ) )
105	104	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( E. w e. CC z = ( w .h ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) ) ) )
106	58, 105	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( z e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) ) ) )
107	106	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( E. z e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) ) )
108	107	rexlimiv 3027	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. z e. ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) x = ( y +h z ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) )
109	57, 108	sylbi 207	. . . 4 |- ( x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) -> x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) )
110	56, 109	impbii 199	. . 3 |- ( x e. ( A +H ( span ` { B } ) ) <-> x e. ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) )
111	110	eqriv 2619	. 2 |- ( A +H ( span ` { B } ) ) = ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
112	1	chssii 28088	. . . 4 |- A C_ ~H
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- { B } C_ ~H
114	112, 113	spanuni 28403	. . 3 |- ( span ` ( A u. { B } ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` { B } ) )
115		spanid 28206	. . . . 5 |- ( A e. SH -> ( span ` A ) = A )
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 |- ( span ` A ) = A
117	116	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` { B } ) ) = ( A +H ( span ` { B } ) )
118	114, 117	eqtri 2644	. 2 |- ( span ` ( A u. { B } ) ) = ( A +H ( span ` { B } ) )
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 |- { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } C_ ~H
120	112, 119	spanuni 28403	. . 3 |- ( span ` ( A u. { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
121	116	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) = ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
122	120, 121	eqtri 2644	. 2 |- ( span ` ( A u. { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) ) = ( A +H ( span ` { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2654	1 |- ( span ` ( A u. { B } ) ) = ( span ` ( A u. { ( ( proj h ` ( _|_ ` A ) ) ` B ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   -ucneg 10267   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787   +H cph 27788   spancspn 27789   proj hcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  spansnji  28505