nn0prpw - Mathbox for Jeff Hankins

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Theorem nn0prpw 32318

Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0prpw	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem nn0prpw Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . 4
2	1	a1d 25	. . 3 $/\$
3	2	ralrimivv 2970	. 2
4		elnn0 11294	. . 3 $\/$
5		elnn0 11294	. . . . . . 7 $\/$
6		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
7		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
8		lttri2 10120	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
10	9	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
11		nn0prpwlem 32317	. . . . . . . . . . . . . 14
12		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14	13	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	14	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	15	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	12, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14
19	11, 18	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
20		nn0prpwlem 32317	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23	22	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24		bicom 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25	23, 24	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26	25	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27	26	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	21, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	20, 29	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
32	19, 31	jaod 395	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
33	10, 32	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$
34		df-ne 2795	. . . . . . . . . . 11
35		rexnal2 3043	. . . . . . . . . . 11
36	33, 34, 35	3imtr3g 284	. . . . . . . . . 10 $/\$
37	36	con4d 114	. . . . . . . . 9 $/\$
38	37	ex 450	. . . . . . . 8
39		prmunb 15618	. . . . . . . . . . . 12
40		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
43		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
44	41, 42, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
45		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
46	44, 45	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
47		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
48		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
50		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
51	49, 42, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
53	51, 6, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54	47	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
55	54	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
58	57	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
59	53, 58	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	46, 59	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
61	60	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
62	61	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	62	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvds0 14997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65	44, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66	65	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
67		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
68	66, 67	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
69	63, 68	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
70		biimpr 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	69, 70	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75	73, 74	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76	75	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77	76	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	40, 71, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
79	78	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	79	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12
81	39, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . 11
82		rexnal2 3043	. . . . . . . . . . 11
83	81, 82	sylib 208	. . . . . . . . . 10
84	83	pm2.21d 118	. . . . . . . . 9
85		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
86	85	bibi2d 332	. . . . . . . . . . 11
87	86	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . 10
88		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10
89	87, 88	imbi12d 334	. . . . . . . . 9
90	84, 89	syl5ibr 236	. . . . . . . 8
91	38, 90	jaoi 394	. . . . . . 7 $\/$
92	5, 91	sylbi 207	. . . . . 6
93	92	com12 32	. . . . 5
94		orcom 402	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
95		df-or 385	. . . . . . . . . 10 $\/$
96	5, 94, 95	3bitri 286	. . . . . . . . 9
97		prmunb 15618	. . . . . . . . . . . 12
98		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
99	44, 98	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
100		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
101	51, 7, 100	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
102	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
103	102	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
104	103	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
105	101, 104	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
106	99, 105	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
107	106	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
108	107	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
109	108	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
110	65	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
111		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
112	110, 111	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
113	109, 112	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114		biimp 205	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	113, 114	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
116	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117	74, 116	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118	117	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119	118	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	40, 115, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	120	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	121	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12
123	97, 122	mpd 15	. . . . . . . . . . 11
124		rexnal2 3043	. . . . . . . . . . 11
125	123, 124	sylib 208	. . . . . . . . . 10
126	125	imim2i 16	. . . . . . . . 9
127	96, 126	sylbi 207	. . . . . . . 8
128	127	con4d 114	. . . . . . 7
129		eqcom 2629	. . . . . . 7
130	128, 129	syl6ib 241	. . . . . 6
131		breq2 4657	. . . . . . . . 9
132	131	bibi1d 333	. . . . . . . 8
133	132	2ralbidv 2989	. . . . . . 7
134		eqeq1 2626	. . . . . . 7
135	133, 134	imbi12d 334	. . . . . 6
136	130, 135	syl5ibr 236	. . . . 5
137	93, 136	jaoi 394	. . . 4 $\/$
138	137	imp 445	. . 3 $\/$ $/\$
139	4, 138	sylanb 489	. 2 $/\$
140	3, 139	impbid2 216	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cexp 12860

cdvds 14983

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: (None)

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