nn0prpwlem - Mathbox for Jeff Hankins

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Theorem nn0prpwlem 32317

Description: Lemma for nn0prpw 32318. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0prpwlem

Distinct variable group:

Proof of Theorem nn0prpwlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . 4
2		breq2 4657	. . . . . . 7
3	2	bibi2d 332	. . . . . 6
4	3	notbid 308	. . . . 5
5	4	2rexbidv 3057	. . . 4
6	1, 5	imbi12d 334	. . 3
7	6	ralbidv 2986	. 2
8		breq2 4657	. . . . 5
9		breq2 4657	. . . . . . . 8
10	9	bibi2d 332	. . . . . . 7
11	10	notbid 308	. . . . . 6
12	11	2rexbidv 3057	. . . . 5
13	8, 12	imbi12d 334	. . . 4
14	13	ralbidv 2986	. . 3
15		breq2 4657	. . . . 5
16		breq2 4657	. . . . . . . 8
17	16	bibi2d 332	. . . . . . 7
18	17	notbid 308	. . . . . 6
19	18	2rexbidv 3057	. . . . 5
20	15, 19	imbi12d 334	. . . 4
21	20	ralbidv 2986	. . 3
22		nnnlt1 11050	. . . . 5
23	22	pm2.21d 118	. . . 4
24	23	rgen 2922	. . 3
25		exprmfct 15416	. . . 4
26		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
28		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
31		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	35	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	39, 40	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
42		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	42, 43	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
45	28, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
46		divgt0 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	41, 45, 46	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
48	47	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	38, 49, 50	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
55	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
58		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
59	54, 55, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
60		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
61		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
62	61	eluz1i 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
63		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
64		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
65		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
66		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
67		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 66, 67	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
70	63, 69	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71	70	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
72	62, 71	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73	60, 72	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
74		divgt0 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
75	73, 45, 74	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
76	75	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77	76	ancld 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
78		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
79	77, 78	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	59, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
81	80	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
82		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
85	84	bibi2d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
86	85	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87	86	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
88	83, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	88	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90	82, 89	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91	90	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92	91	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95	94	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		prmgt1 15409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98	97	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	28	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101	100	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		ltmul1 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
105	99, 101, 102, 103, 104	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	98, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	96, 106	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	28, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
111	102, 102, 101, 109, 110	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	107, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
114		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
115	114	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116	115	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
117	116	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
118	113, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
119	118	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120	119	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	39	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
125	123, 102, 101, 109, 124	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
130	129	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	26	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
133	132	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
135	131, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
137	136	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
138	137	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	29	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
141	135, 138, 131, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	28	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
143	142	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143, 133	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
147	146	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
148	147	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148, 143, 139	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	145, 149	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	141, 150	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
153	152	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
154	153	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
156	135, 154, 131, 139, 155	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	94	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 143, 139	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	145, 158	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 159	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	151, 160	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
166	165	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
167	165	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
168	166, 167	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
169	168	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
170	169	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
171	130, 164, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
173	172	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
174	172	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
175	173, 174	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
176	175	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
177	176	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	177	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
180	179	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
181	179	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
182	180, 181	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
183	182	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
184	183	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
185	178, 184	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	171, 185	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
189	188	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
192	191	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
194	193	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$
196	192, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	26	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198	137	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
200	196, 197, 198, 199	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
202	196, 197, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206		prmdvdsexpb 15428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ $/\$
207		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
208	206, 207	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ $/\$
209	208	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$
210	203, 204, 205, 209	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	210	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	211	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
213		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
214		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$
215	213, 196, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
216	212, 215	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
217	202, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$
219	196, 197, 198, 218	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
220	217, 219	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221	200, 220	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
222	147	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	142	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
224	29	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
225	222, 223, 224	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	221, 226	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
228	153	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
230	196, 197, 228, 229	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$
232	196, 197, 228, 231	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	217, 232	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	230, 233	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	94	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
236	235, 223, 224	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	236	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
238	234, 237	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
239	227, 238	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
240	239	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241	240	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
242		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
243	242	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
244	242	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
245	243, 244	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
246	245	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
247	246	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
248	189, 241, 247	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
249	248	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
250	249	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
251	250	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
252	251	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
253	187, 252	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
254		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
255	254	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
256	254	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
257	255, 256	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
258	257	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
259	258	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
260	259	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
261	127, 253, 260	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
262	261	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
263	262	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
264	126, 263	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
265	264	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
266	265	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
267	121, 266	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
268	112, 267	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
269	93, 268	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
270	269	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
271	81, 270	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
272	271	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
273	272	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
274	273	imp32 449	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
275	37, 53, 274	3syld 60	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
276		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
277		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
279	142	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
280	279	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
281	280	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
282	281	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
283	282	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
284	283	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
285	284	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
286	279	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
287	286	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
288	287	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
289		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
290	288, 289	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
291	290	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
292	285, 291	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
293		biimpr 210	. . . . . . . . . . . . . . 15
294	292, 293	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
295		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
296	295	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
297	295	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
298	296, 297	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16
299	298	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15
300		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
301	300	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
302	300	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
303	301, 302	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16
304	303	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15
305	299, 304	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
306	276, 278, 294, 305	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
307	306	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
308	307	expd 452	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
309	308	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
310	275, 309	pm2.61d 170	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
311	310	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
312	311	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
313		breq1 4656	. . . . . . . . 9
314		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
315	314	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . 12
316	315	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
317	316	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . 10
318	254	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13
319	318, 256	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . 12
320	319	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
321	242	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13
322	321, 244	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . 12
323	322	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
324	320, 323	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . 10
325	317, 324	syl6bb 276	. . . . . . . . 9
326	313, 325	imbi12d 334	. . . . . . . 8
327	326	cbvralv 3171	. . . . . . 7
328	312, 327	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
329	328	3exp1 1283	. . . . 5
330	329	rexlimdv 3030	. . . 4
331	25, 330	mpd 15	. . 3
332	14, 21, 24, 331	indstr2 11767	. 2
333	7, 332	vtoclga 3272	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: nn0prpw 32318

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