Theorem uniioombllem3 23353

Description: Lemma for uniioombl 23357. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombl.m	|- ( ph -> M e. NN )
uniioombl.m2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` M ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
uniioombl.k	|- K = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem3	|- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) < ( ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` ( K \ A ) ) ) + ( C + C ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, K   x, A   x, C   x, M   ph, x   x, T

Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)

Proof of Theorem uniioombllem3

Dummy variables j k n z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . . 5 |- ( E i^i A ) C_ E
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E i^i A ) C_ E )
3		uniioombl.s	. . . . 5 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
4		uniioombl.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
5	4	uniiccdif 23346	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( [,] o. G ) /\ ( vol* ` ( U. ran ( [,] o. G ) \ U. ran ( (,) o. G ) ) ) = 0 ) )
6	5	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( [,] o. G ) )
7		ovolficcss 23238	. . . . . . 7 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. G ) C_ RR )
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. G ) C_ RR )
9	6, 8	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) C_ RR )
10	3, 9	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> E C_ RR )
11		uniioombl.e	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
12		ovolsscl 23254	. . . 4 |- ( ( ( E i^i A ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) e. RR )
13	2, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) e. RR )
14		difssd 3738	. . . 4 |- ( ph -> ( E \ A ) C_ E )
15		ovolsscl 23254	. . . 4 |- ( ( ( E \ A ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ A ) ) e. RR )
16	14, 10, 11, 15	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ A ) ) e. RR )
17		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( K i^i A ) C_ K
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( K i^i A ) C_ K )
19		uniioombl.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20		uniioombl.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
21		uniioombl.3	. . . . . . . 8 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
22		uniioombl.a	. . . . . . . 8 |- A = U. ran ( (,) o. F )
23		uniioombl.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
24		uniioombl.t	. . . . . . . 8 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
25		uniioombl.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
26		uniioombl.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
27		uniioombl.m2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` M ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
28		uniioombl.k	. . . . . . . 8 |- K = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) )
29	19, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25, 26, 27, 28	uniioombllem3a 23352	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K = U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( vol* ` K ) e. RR ) )
30	29	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> K = U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
31		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
32		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. NN )
33		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
34	4, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
35	31, 34	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
36		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
39		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
40	38, 39	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
41		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
42	40, 41	syl6eqss 3655	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
44		iunss 4561	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR <-> A. j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
45	43, 44	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
46	30, 45	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ph -> K C_ RR )
47	29	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` K ) e. RR )
48		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( K i^i A ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. RR )
49	18, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. RR )
50	23	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
51	49, 50	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + C ) e. RR )
52		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( K \ A ) C_ K )
53		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( K \ A ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` ( K \ A ) ) e. RR )
54	52, 46, 47, 53	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( K \ A ) ) e. RR )
55	54, 50	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + C ) e. RR )
56		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
57		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
58		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
59	31, 58	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
60		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> G : NN --> ( RR* X. RR* ) )
61	4, 59, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : NN --> ( RR* X. RR* ) )
62		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ G : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR )
63	57, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR )
64		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. G ) Fn NN )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (,) o. G ) Fn NN )
66		fnima 6010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) o. G ) Fn NN -> ( ( (,) o. G ) " NN ) = ran ( (,) o. G ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( (,) o. G ) " NN ) = ran ( (,) o. G ) )
68		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
69	26	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
70	69, 68	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
71		uzsplit 12412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
73	68, 72	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
74	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. CC )
75		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
76		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
77	74, 75, 76	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... M ) )
79	78	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
80	73, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
81	80	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( (,) o. G ) " NN ) = ( ( (,) o. G ) " ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
82	67, 81	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( (,) o. G ) = ( ( (,) o. G ) " ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
83		imaundi 5545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) o. G ) " ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) = ( ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
84	82, 83	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran ( (,) o. G ) = ( ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
85	84	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) = U. ( ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
86		uniun 4456	. . . . . . . . 9 |- U. ( ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) = ( U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
87	85, 86	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) = ( U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
88	28	uneq1i 3763	. . . . . . . 8 |- ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) = ( U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
89	87, 88	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) = ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
90	56, 89	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) )
91	19, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25	uniioombllem1 23349	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
92		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( (,) o. G )
93	24	ovollb 23247	. . . . . . . 8 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
94	4, 92, 93	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
95		ovollecl 23251	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR )
96	9, 91, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR )
97		ovolsscl 23254	. . . . . 6 |- ( ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR ) -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
98	90, 9, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
99	49, 98	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
100		unss1 3782	. . . . . . . 8 |- ( ( K i^i A ) C_ K -> ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
101	17, 100	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
102	101, 89	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) )
103		ovolsscl 23254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
104	102, 9, 96, 103	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
105	3, 89	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
106		ssrin 3838	. . . . . . . 8 |- ( E C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) -> ( E i^i A ) C_ ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) i^i A ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E i^i A ) C_ ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) i^i A ) )
108		indir 3875	. . . . . . . 8 |- ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) i^i A ) = ( ( K i^i A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) i^i A ) )
109		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) i^i A ) C_ U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
110		unss2 3784	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) i^i A ) C_ U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( K i^i A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) i^i A ) ) C_ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( K i^i A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) i^i A ) ) C_ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
112	108, 111	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) i^i A ) C_ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
113	107, 112	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E i^i A ) C_ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
114	102, 9	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ RR )
115		ovolss 23253	. . . . . 6 |- ( ( ( E i^i A ) C_ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) <_ ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) <_ ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
117	18, 46	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K i^i A ) C_ RR )
118	90, 9	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ RR )
119		ovolun 23267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K i^i A ) C_ RR /\ ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. RR ) /\ ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
120	117, 49, 118, 98, 119	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( K i^i A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
121	13, 104, 99, 116, 120	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
122		rge0ssre 12280	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
123		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
124	123, 24	ovolsf 23241	. . . . . . . . . 10 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
125	4, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
126	125, 26	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ` M ) e. ( 0 [,) +oo ) )
127	122, 126	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` M ) e. RR )
128	91, 127	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) e. RR )
129	98	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) e. RR* )
130		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. NN )
131		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ M e. NN ) -> ( z + M ) e. NN )
132	130, 26, 131	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. NN ) -> ( z + M ) e. NN )
133	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z + M ) e. NN ) -> ( G ` ( z + M ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
134	132, 133	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. NN ) -> ( G ` ( z + M ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
135		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) = ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) )
136	134, 135	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
137		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
138		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) )
139	137, 138	ovolsf 23241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140	136, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
141		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
143		icossxr 12258	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
144	142, 143	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) C_ RR* )
145		supxrcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
147	128	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) e. RR* )
148		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
149	26	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. ZZ )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
151		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
152	74, 75, 151	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
154	153	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) )
155	154	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
156		eluzsub 11717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( x - M ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
157	148, 150, 155, 156	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( x - M ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
158	157, 68	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( x - M ) e. NN )
159		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> x e. ZZ )
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
161	160	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. CC )
162	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
163	161, 162	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( x - M ) + M ) = x )
164	163	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x = ( ( x - M ) + M ) )
165		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( x - M ) -> ( z + M ) = ( ( x - M ) + M ) )
166	165	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( x - M ) -> ( x = ( z + M ) <-> x = ( ( x - M ) + M ) ) )
167	166	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x - M ) e. NN /\ x = ( ( x - M ) + M ) ) -> E. z e. NN x = ( z + M ) )
168	158, 164, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> E. z e. NN x = ( z + M ) )
169		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
170		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN |-> ( z + M ) ) = ( z e. NN |-> ( z + M ) )
171	170	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( x e. ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) <-> E. z e. NN x = ( z + M ) ) )
172	169, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) <-> E. z e. NN x = ( z + M ) )
173	168, 172	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) )
174	173	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> x e. ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) )
175	174	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) )
176		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) -> ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ( G " ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ( G " ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) )
178		rnco2 5642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( G o. ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) = ( G " ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) )
179		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. NN |-> ( z + M ) ) = ( z e. NN |-> ( z + M ) ) )
180	4	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G = ( w e. NN |-> ( G ` w ) ) )
181		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( z + M ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( z + M ) ) )
182	132, 179, 180, 181	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G o. ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) = ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
183	182	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran ( G o. ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) = ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
184	178, 183	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G " ran ( z e. NN |-> ( z + M ) ) ) = ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
185	177, 184	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
186		imass2 5501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) -> ( (,) " ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( (,) " ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (,) " ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( (,) " ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) )
188		imaco 5640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( (,) " ( G " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
189		rnco2 5642	. . . . . . . . . 10 |- ran ( (,) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) = ( (,) " ran ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) )
190	187, 188, 189	3sstr4g 3646	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ ran ( (,) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) )
191	190	unissd 4462	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) )
192	138	ovollb 23247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) )
193	136, 191, 192	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) )
194		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
195	125, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
196	195, 143	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ran T C_ RR* )
198	24	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T ` ( M + n ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` ( M + n ) )
199	26	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. RR )
200	199	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
201		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) = (/) )
202	200, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) = (/) )
203	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) = (/) )
204		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
205		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. RR /\ n e. NN0 ) -> M <_ ( M + n ) )
206	199, 204, 205	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M <_ ( M + n ) )
207	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
208	207, 68	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
209		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN ) -> ( M + n ) e. NN )
210	26, 209	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M + n ) e. NN )
211	210	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M + n ) e. ZZ )
212		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( M + n ) e. ZZ ) -> ( M e. ( 1 ... ( M + n ) ) <-> M <_ ( M + n ) ) )
213	208, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M e. ( 1 ... ( M + n ) ) <-> M <_ ( M + n ) ) )
214	206, 213	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. ( 1 ... ( M + n ) ) )
215		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 1 ... ( M + n ) ) -> ( 1 ... ( M + n ) ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) )
216	214, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... ( M + n ) ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) )
217		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... ( M + n ) ) e. Fin )
218	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
219		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1 ... ( M + n ) ) -> j e. NN )
220		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
221	218, 219, 220	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
222	221	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
223	221	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
224	222, 223	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
225	224	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. CC )
226	203, 216, 217, 225	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) + sum_ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) ) )
227	123	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` j ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
228	218, 219, 227	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` j ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
229	210, 68	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M + n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
230	228, 229, 225	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` ( M + n ) ) )
231	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
232	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> j e. NN )
233	231, 232, 227	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` j ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
234	4, 32, 220	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
235	234	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
236	234	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
237	235, 236	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
238	237	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
239	238	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. CC )
240	233, 208, 239	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` M ) )
241	24	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` M ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` M )
242	240, 241	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( T ` M ) )
243	207	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. ZZ )
244	243	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
245	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
246	207	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M + 1 ) e. NN )
247		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) -> j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
248		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> j e. NN )
249	246, 247, 248	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> j e. NN )
250	245, 249, 220	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
251	250	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
252	250	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
253	251, 252	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
254	253	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. CC )
255		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = ( k + M ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( k + M ) ) )
256	255	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( k + M ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) = ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) )
257	255	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( k + M ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) = ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) )
258	256, 257	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( k + M ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
259	243, 244, 211, 254, 258	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = sum_ k e. ( ( ( M + 1 ) - M ) ... ( ( M + n ) - M ) ) ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
260	207	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. CC )
261		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - M ) = 1 )
262	260, 75, 261	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( M + 1 ) - M ) = 1 )
263		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN -> n e. CC )
264	263	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
265	260, 264	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( M + n ) - M ) = n )
266	262, 265	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( M + 1 ) - M ) ... ( ( M + n ) - M ) ) = ( 1 ... n ) )
267	266	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( ( ( M + 1 ) - M ) ... ( ( M + n ) - M ) ) ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
268	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
269		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. NN )
270	137	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) - ( 1st ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) ) )
271	268, 269, 270	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) - ( 1st ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) ) )
272	269	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. NN )
273		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = k -> ( z + M ) = ( k + M ) )
274	273	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = k -> ( G ` ( z + M ) ) = ( G ` ( k + M ) ) )
275		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G ` ( k + M ) ) e. _V
276	274, 135, 275	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) = ( G ` ( k + M ) ) )
277	272, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) = ( G ` ( k + M ) ) )
278	277	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) = ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) )
279	277	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) = ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) )
280	278, 279	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) - ( 1st ` ( ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
281	271, 280	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
282		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
283	282, 68	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
284	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
285		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k + M ) e. NN )
286	269, 207, 285	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k + M ) e. NN )
287		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( k + M ) e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
288	284, 286, 287	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) )
289	288	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR )
290	288	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) e. RR )
291	289, 290	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) e. RR )
292	291	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) e. CC )
293	281, 283, 292	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( 2nd ` ( G ` ( k + M ) ) ) - ( 1st ` ( G ` ( k + M ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) )
294	259, 267, 293	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) )
295	242, 294	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) + sum_ j e. ( ( M + 1 ) ... ( M + n ) ) ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) )
296	226, 230, 295	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` ( M + n ) ) = ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) )
297	198, 296	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` ( M + n ) ) = ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) )
298		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
299	125, 298	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T Fn NN )
300	299	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T Fn NN )
301		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T Fn NN /\ ( M + n ) e. NN ) -> ( T ` ( M + n ) ) e. ran T )
302	300, 210, 301	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` ( M + n ) ) e. ran T )
303	297, 302	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) e. ran T )
304		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) e. ran T ) -> ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
305	197, 303, 304	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
306	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` M ) e. RR )
307	140	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
308	122, 307	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) e. RR )
309	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
310	306, 308, 309	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( T ` M ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
311	305, 310	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) )
312	311	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) )
313		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) Fn NN )
314	140, 313	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) Fn NN )
315		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) -> ( x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
316	315	ralrn 6362	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) Fn NN -> ( A. x e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) <-> A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
317	314, 316	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. x e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) <-> A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
318	312, 317	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) )
319		supxrleub 12156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) C_ RR* /\ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) <-> A. x e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
320	144, 147, 319	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) <-> A. x e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) x <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) ) )
321	318, 320	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> ( G ` ( z + M ) ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) )
322	129, 146, 147, 193, 321	xrletrd 11993	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) )
323	127, 91, 50	absdifltd 14172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( T ` M ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C <-> ( ( sup ( ran T , RR* , < ) - C ) < ( T ` M ) /\ ( T ` M ) < ( sup ( ran T , RR* , < ) + C ) ) ) )
324	27, 323	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sup ( ran T , RR* , < ) - C ) < ( T ` M ) /\ ( T ` M ) < ( sup ( ran T , RR* , < ) + C ) ) )
325	324	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) - C ) < ( T ` M ) )
326	91, 50, 127, 325	ltsub23d 10632	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) - ( T ` M ) ) < C )
327	98, 128, 50, 322, 326	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) < C )
328	98, 50, 49, 327	ltadd2dd 10196	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) < ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + C ) )
329	13, 99, 51, 121, 328	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i A ) ) < ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + C ) )
330	54, 98	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
331		difss 3737	. . . . . . . 8 |- ( K \ A ) C_ K
332		unss1 3782	. . . . . . . 8 |- ( ( K \ A ) C_ K -> ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
333	331, 332	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
334	333, 89	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) )
335		ovolsscl 23254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
336	334, 9, 96, 335	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
337	105	ssdifd 3746	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E \ A ) C_ ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) \ A ) )
338		difundir 3880	. . . . . . . 8 |- ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) \ A ) = ( ( K \ A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) \ A ) )
339		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) \ A ) C_ U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
340		unss2 3784	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) \ A ) C_ U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( K \ A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) \ A ) ) C_ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
341	339, 340	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( K \ A ) u. ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) \ A ) ) C_ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
342	338, 341	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- ( ( K u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) \ A ) C_ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
343	337, 342	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E \ A ) C_ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
344	334, 9	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ RR )
345		ovolss 23253	. . . . . 6 |- ( ( ( E \ A ) C_ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E \ A ) ) <_ ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
346	343, 344, 345	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ A ) ) <_ ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
347	52, 46	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K \ A ) C_ RR )
348		ovolun 23267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K \ A ) C_ RR /\ ( vol* ` ( K \ A ) ) e. RR ) /\ ( U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
349	347, 54, 118, 98, 348	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( K \ A ) u. U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
350	16, 336, 330, 346, 349	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ A ) ) <_ ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
351	98, 50, 54, 327	ltadd2dd 10196	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + ( vol* ` U. ( ( (,) o. G ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) ) < ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + C ) )
352	16, 330, 55, 350, 351	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ A ) ) < ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + C ) )
353	13, 16, 51, 55, 329, 352	lt2addd 10650	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) < ( ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + C ) + ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + C ) ) )
354	49	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. CC )
355	50	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
356	54	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( K \ A ) ) e. CC )
357	354, 355, 356, 355	add4d 10264	. 2 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + C ) + ( ( vol* ` ( K \ A ) ) + C ) ) = ( ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` ( K \ A ) ) ) + ( C + C ) ) )
358	353, 357	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) < ( ( ( vol* ` ( K i^i A ) ) + ( vol* ` ( K \ A ) ) ) + ( C + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   sum_csu 14416   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  uniioombllem5  23355