Theorem torsubg 18257

Description: The set of all elements of finite order forms a subgroup of any abelian group, called the torsion subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
torsubg.1	|- O = ( od ` G )

Assertion

Ref	Expression
torsubg	|- ( G e. Abel -> ( `' O " NN ) e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem torsubg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5485	. . . 4 |- ( `' O " NN ) C_ dom O
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3		torsubg.1	. . . . . 6 |- O = ( od ` G )
4	2, 3	odf 17956	. . . . 5 |- O : ( Base ` G ) --> NN0
5	4	fdmi 6052	. . . 4 |- dom O = ( Base ` G )
6	1, 5	sseqtri 3637	. . 3 |- ( `' O " NN ) C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( G e. Abel -> ( `' O " NN ) C_ ( Base ` G ) )
8		ablgrp 18198	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
10	2, 9	grpidcl 17450	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
11	8, 10	syl 17	. . . 4 |- ( G e. Abel -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
12	3, 9	od1 17976	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( O ` ( 0g ` G ) ) = 1 )
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> ( O ` ( 0g ` G ) ) = 1 )
14		1nn 11031	. . . . 5 |- 1 e. NN
15	13, 14	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( G e. Abel -> ( O ` ( 0g ` G ) ) e. NN )
16		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( O : ( Base ` G ) --> NN0 -> O Fn ( Base ` G ) )
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- O Fn ( Base ` G )
18		elpreima 6337	. . . . 5 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( ( 0g ` G ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( 0g ` G ) ) e. NN ) ) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( 0g ` G ) ) e. NN ) )
20	11, 15, 19	sylanbrc 698	. . 3 |- ( G e. Abel -> ( 0g ` G ) e. ( `' O " NN ) )
21		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. ( `' O " NN ) -> ( `' O " NN ) =/= (/) )
22	20, 21	syl 17	. 2 |- ( G e. Abel -> ( `' O " NN ) =/= (/) )
23	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> G e. Grp )
24	6	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( `' O " NN ) -> x e. ( Base ` G ) )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
26	6	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( `' O " NN ) -> y e. ( Base ` G ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
29	2, 28	grpcl 17430	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
30	23, 25, 27, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
31		0nnn 11052	. . . . . . . . 9 |- -. 0 e. NN
32	2, 3	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Base ` G ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` x ) e. ZZ )
35	2, 3	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( Base ` G ) -> ( O ` y ) e. NN0 )
36	27, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` y ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` y ) e. ZZ )
38	34, 37	gcdcld 15230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) e. NN0 )
39	38	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) e. CC )
40	39	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) = 0 )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) <-> 0 || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) ) )
42	34, 37	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) e. ZZ )
43		0dvds 15002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) e. ZZ -> ( 0 || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) <-> ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( 0 || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) <-> ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) = 0 ) )
45	41, 44	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) <-> ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) = 0 ) )
46		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( x e. ( `' O " NN ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ ( O ` x ) e. NN ) ) )
47	17, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' O " NN ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ ( O ` x ) e. NN ) )
48	47	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( `' O " NN ) -> ( O ` x ) e. NN )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` x ) e. NN )
50		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( y e. ( `' O " NN ) <-> ( y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` y ) e. NN ) ) )
51	17, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( `' O " NN ) <-> ( y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` y ) e. NN ) )
52	51	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( `' O " NN ) -> ( O ` y ) e. NN )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` y ) e. NN )
54	49, 53	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) e. NN )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) = 0 -> ( ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) e. NN <-> 0 e. NN ) )
56	54, 55	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) = 0 -> 0 e. NN ) )
57	45, 56	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) -> 0 e. NN ) )
58	31, 57	mtoi 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> -. ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) )
59		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> G e. Abel )
60	3, 2, 28	odadd1 18251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) )
61	59, 25, 27, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) )
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 -> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) = ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) )
63	62	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 -> ( ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) <-> ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) ) )
64	61, 63	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 -> ( 0 x. ( ( O ` x ) gcd ( O ` y ) ) ) || ( ( O ` x ) x. ( O ` y ) ) ) )
65	58, 64	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> -. ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 )
66	2, 3	odcl 17955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) -> ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN0 )
67	30, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN0 )
68		elnn0 11294	. . . . . . . . 9 |- ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN0 <-> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN \/ ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 ) )
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN \/ ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 ) )
70	69	ord 392	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( -. ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN -> ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) = 0 ) )
71	65, 70	mt3d 140	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN )
72		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN ) ) )
73	17, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( x ( +g ` G ) y ) ) e. NN ) )
74	30, 71, 73	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) /\ y e. ( `' O " NN ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) )
75	74	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> A. y e. ( `' O " NN ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) )
76		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
77	2, 76	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
78	8, 24, 77	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
79	3, 76, 2	odinv 17978	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( O ` x ) )
80	8, 24, 79	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( O ` x ) )
81	48	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` x ) e. NN )
82	80, 81	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) e. NN )
83		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) e. NN ) ) )
84	17, 83	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( Base ` G ) /\ ( O ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) e. NN ) )
85	78, 82, 84	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) )
86	75, 85	jca 554	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( `' O " NN ) ) -> ( A. y e. ( `' O " NN ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) ) )
87	86	ralrimiva 2966	. 2 |- ( G e. Abel -> A. x e. ( `' O " NN ) ( A. y e. ( `' O " NN ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) ) )
88	2, 28, 76	issubg2 17609	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( `' O " NN ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( `' O " NN ) C_ ( Base ` G ) /\ ( `' O " NN ) =/= (/) /\ A. x e. ( `' O " NN ) ( A. y e. ( `' O " NN ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) ) ) ) )
89	8, 88	syl 17	. 2 |- ( G e. Abel -> ( ( `' O " NN ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( `' O " NN ) C_ ( Base ` G ) /\ ( `' O " NN ) =/= (/) /\ A. x e. ( `' O " NN ) ( A. y e. ( `' O " NN ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( `' O " NN ) /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( `' O " NN ) ) ) ) )
90	7, 22, 87, 89	mpbir3and 1245	1 |- ( G e. Abel -> ( `' O " NN ) e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196

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