Theorem odngen 17992

Description: A cyclic subgroup of size ( O ` A ) has ( phi ` ( O ` A ) ) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	|- X = ( Base ` G )
odhash.o	|- O = ( od ` G )
odhash.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
odngen	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) = ( phi ` ( O ` A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, K   x, O   x, X

Proof of Theorem odngen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) = ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) )
2	1	mptpreima 5628	. . 3 |- ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) = { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } }
3	2	fveq2i 6194	. 2 |- ( # ` ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } } )
4		odhash.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6		odhash.o	. . . . 5 |- O = ( od ` G )
7		odhash.k	. . . . 5 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 17988	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-onto-> ( K ` { A } ) )
9		f1ocnv 6149	. . . 4 |- ( ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-onto-> ( K ` { A } ) -> `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O ` A ) ) )
10		f1of1 6136	. . . 4 |- ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O ` A ) ) -> `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O ` A ) ) )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O ` A ) ) )
12		ssrab2 3687	. . 3 |- { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } C_ ( K ` { A } )
13		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( K ` { A } ) e. _V
14	13	rabex 4813	. . . . 5 |- { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } e. _V
15	14	f1imaen 8018	. . . 4 |- ( ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } C_ ( K ` { A } ) ) -> ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ~~ { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } )
16		hasheni 13136	. . . 4 |- ( ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ~~ { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } -> ( # ` ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ) = ( # ` { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) : ( K ` { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } C_ ( K ` { A } ) ) -> ( # ` ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ) = ( # ` { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) )
18	11, 12, 17	sylancl 694	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` ( `' ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( y (.g ` G ) A ) ) " { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) ) = ( # ` { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) )
19		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> G e. Grp )
20		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> A e. X )
21		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) -> y e. ZZ )
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> y e. ZZ )
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 17632	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ y e. ZZ ) -> ( y (.g ` G ) A ) e. ( K ` { A } ) )
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( y (.g ` G ) A ) e. ( K ` { A } ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y (.g ` G ) A ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y (.g ` G ) A ) -> ( ( O ` x ) = ( O ` A ) <-> ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) = ( O ` A ) ) )
27	26	elrab3 3364	. . . . . . 7 |- ( ( y (.g ` G ) A ) e. ( K ` { A } ) -> ( ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } <-> ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) = ( O ` A ) ) )
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } <-> ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) = ( O ` A ) ) )
29		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( O ` A ) e. NN )
30	4, 6, 5	odmulgeq 17974	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ y e. ZZ ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) = ( O ` A ) <-> ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 ) )
31	19, 20, 22, 29, 30	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( ( O ` ( y (.g ` G ) A ) ) = ( O ` A ) <-> ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 ) )
32	28, 31	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } <-> ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 ) )
33	32	rabbidva 3188	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } } = { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 } )
34	33	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } } ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 } ) )
35		dfphi2 15479	. . . 4 |- ( ( O ` A ) e. NN -> ( phi ` ( O ` A ) ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 } ) )
36	35	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( phi ` ( O ` A ) ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y gcd ( O ` A ) ) = 1 } ) )
37	34, 36	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` { y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) | ( y (.g ` G ) A ) e. { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } } ) = ( phi ` ( O ` A ) ) )
38	3, 18, 37	3eqtr3a 2680	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` { x e. ( K ` { A } ) | ( O ` x ) = ( O ` A ) } ) = ( phi ` ( O ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117   gcd cgcd 15216   phicphi 15469   Basecbs 15857  mrClscmrc 16243   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948

This theorem is referenced by:  proot1hash  37778