Theorem odf1o2 17988

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	|- X = ( Base ` G )
odf1o1.t	|- .x. = (.g ` G )
odf1o1.o	|- O = ( od ` G )
odf1o1.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-onto-> ( K ` { A } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, K   x, O   x, .x.   x, X

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> G e. Grp )
2		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) -> x e. ZZ )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> x e. ZZ )
4		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> A e. X )
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
7	5, 6	mulgcl 17559	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ZZ /\ A e. X ) -> ( x .x. A ) e. X )
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( x .x. A ) e. X )
9	8	ex 450	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) -> ( x .x. A ) e. X ) )
10		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( O ` A ) e. NN )
11	10	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( O ` A ) e. CC )
12	11	subid1d 10381	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( ( O ` A ) - 0 ) = ( O ` A ) )
13	12	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( ( ( O ` A ) - 0 ) || ( x - y ) <-> ( O ` A ) || ( x - y ) ) )
14		fzocongeq 15046	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( ( ( O ` A ) - 0 ) || ( x - y ) <-> x = y ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( ( ( O ` A ) - 0 ) || ( x - y ) <-> x = y ) )
16		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> G e. Grp )
17		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> A e. X )
18	2	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> x e. ZZ )
19		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) -> y e. ZZ )
20	19	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
23	5, 21, 6, 22	odcong 17968	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( x - y ) <-> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( ( O ` A ) || ( x - y ) <-> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
25	13, 15, 24	3bitr3rd 299	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) ) -> ( ( x .x. A ) = ( y .x. A ) <-> x = y ) )
26	25	ex 450	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ y e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ) -> ( ( x .x. A ) = ( y .x. A ) <-> x = y ) ) )
27	9, 26	dom2lem 7995	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-> X )
28		f1fn 6102	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-> X -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) Fn ( 0..^ ( O ` A ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) Fn ( 0..^ ( O ` A ) ) )
30		resss 5422	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) ) |` ( 0..^ ( O ` A ) ) ) C_ ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) )
31	2	ssriv 3607	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ ( O ` A ) ) C_ ZZ
32		resmpt 5449	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ ( O ` A ) ) C_ ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) ) |` ( 0..^ ( O ` A ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) ) |` ( 0..^ ( O ` A ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) )
34		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
35	34	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) )
36	30, 33, 35	3sstr3i 3643	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) C_ ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) )
37		rnss 5354	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) C_ ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) -> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) C_ ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) )
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) C_ ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
40		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> ( O ` A ) e. NN )
41		zmodfzo 12693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( y mod ( O ` A ) ) e. ( 0..^ ( O ` A ) ) )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> ( y mod ( O ` A ) ) e. ( 0..^ ( O ` A ) ) )
43	5, 21, 6, 22	odmod 17965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ y e. ZZ ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( y .x. A ) )
44	43	3an1rs 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( y .x. A ) )
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. A ) = ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y mod ( O ` A ) ) -> ( x .x. A ) = ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y mod ( O ` A ) ) -> ( ( y .x. A ) = ( x .x. A ) <-> ( y .x. A ) = ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) )
48	47	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod ( O ` A ) ) e. ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ ( y .x. A ) = ( ( y mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> E. x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ( y .x. A ) = ( x .x. A ) )
49	42, 45, 48	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> E. x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ( y .x. A ) = ( x .x. A ) )
50		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( y .x. A ) e. _V
51		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) = ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) )
52	51	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( ( y .x. A ) e. _V -> ( ( y .x. A ) e. ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) <-> E. x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ( y .x. A ) = ( x .x. A ) ) )
53	50, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( y .x. A ) e. ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) <-> E. x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) ( y .x. A ) = ( x .x. A ) )
54	49, 53	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. A ) e. ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) )
56	54, 55	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) : ZZ --> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
57		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) : ZZ --> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) -> ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) C_ ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) C_ ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
59	38, 58	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) = ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) )
60		odf1o1.k	. . . . . 6 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
61	5, 6, 55, 60	cycsubg2 17631	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( K ` { A } ) = ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) )
62	61	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( K ` { A } ) = ran ( y e. ZZ |-> ( y .x. A ) ) )
63	59, 62	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) = ( K ` { A } ) )
64		df-fo 5894	. . 3 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -onto-> ( K ` { A } ) <-> ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) Fn ( 0..^ ( O ` A ) ) /\ ran ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) = ( K ` { A } ) ) )
65	29, 63, 64	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -onto-> ( K ` { A } ) )
66		df-f1 5893	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-> X <-> ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) --> X /\ Fun `' ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) ) )
67	66	simprbi 480	. . 3 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-> X -> Fun `' ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
68	27, 67	syl 17	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> Fun `' ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) )
69		dff1o3 6143	. 2 |- ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-onto-> ( K ` { A } ) <-> ( ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -onto-> ( K ` { A } ) /\ Fun `' ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) ) )
70	65, 68, 69	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x e. ( 0..^ ( O ` A ) ) |-> ( x .x. A ) ) : ( 0..^ ( O ` A ) ) -1-1-onto-> ( K ` { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100  mrClscmrc 16243   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948

This theorem is referenced by:  odhash2  17990  odngen  17992