Theorem ovnlecvr 40772

Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. The statement would also be true with X the empty set, but covers are not used for the zero-dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnlecvr.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnlecvr.n0	|- ( ph -> X =/= (/) )
ovnlecvr.l	|- L = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
ovnlecvr.i	|- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
ovnlecvr.ss	|- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnlecvr	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i   i, I, j, k   i, L   i, X, j, k   ph, i, j, k

Allowed substitution hints:   A( j, k)   L( j, k)

Proof of Theorem ovnlecvr

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnlecvr.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ovnlecvr.n0	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
3		ovnlecvr.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
4		ovnlecvr.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
6		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
8	7	hoissrrn 40763	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) C_ ( RR ^m X ) )
9	8	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) C_ ( RR ^m X ) )
10		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) C_ ( RR ^m X ) <-> A. j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) C_ ( RR ^m X ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) C_ ( RR ^m X ) )
12	3, 11	sstrd 3613	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( RR ^m X ) )
13		eqid 2622	. . 3 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
14	1, 2, 12, 13	ovnn0val 40765	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) = inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) )
15		ssrab2 3687	. . . 4 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR*
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR* )
17		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
19		icossicc 12260	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
20		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ j e. NN )
21	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
22		ovnlecvr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
23	20, 21, 22, 7	hoiprodcl2 40769	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( L ` ( I ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	19, 23	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( L ` ( I ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
25		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) )
26	24, 25	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
27	18, 26	sge0xrcl 40602	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. RR* )
28		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
29	28, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V /\ NN e. _V )
30		elmapg 7870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V /\ NN e. _V ) -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
32	4, 31	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
33	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> L = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) ) )
34		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( I ` j ) -> ( [,) o. i ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
35	34	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` j ) -> ( ( [,) o. i ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` j ) -> ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
37	36	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` j ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i = ( I ` j ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
39		prodex 14637	. . . . . . . . . . 11 |- prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. _V )
41	33, 38, 5, 40	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( L ` ( I ` j ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
42	41	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
44	3, 43	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
45		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k i = I
46		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = I -> ( i ` j ) = ( I ` j ) )
47	46	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = I -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
48	47	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = I /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
50	45, 49	ixpeq2d 39237	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
51	50	iuneq2d 4547	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
52	51	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
53	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
54	53	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
55	54	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
58	52, 57	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
59	58	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
60	32, 44, 59	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
61	27, 60	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
62		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
63	62	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) -> ( ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
64	63	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
65	64	elrab 3363	. . . 4 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } <-> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
66	61, 65	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
67		infxrlb 12164	. . 3 |- ( ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR* /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) -> inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) )
68	16, 66, 67	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) )
69	14, 68	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( I ` j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  40784