MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem plyaddlem1 23969
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   z, k, ph
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k)   F( z, k)   G( z, k)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 10017 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 11 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 sumex 14418 . . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V
43a1i 11 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V )
5 sumex 14418 . . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V
65a1i 11 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V )
7 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6914 . 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
10 fzfid 12772 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) e. Fin )
11 elfznn0 12433 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
1312adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
1413ffvelrnda 6359 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
15 expcl 12878 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1615adantll 750 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1714, 16mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
1811, 17sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2019adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
2120ffvelrnda 6359 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
2221, 16mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2311, 22sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2410, 18, 23fsumadd 14470 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
25 ffn 6045 . . . . . . . . . . 11 |- ( A : NN0 --> CC -> A Fn NN0 )
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A Fn NN0 )
27 ffn 6045 . . . . . . . . . . 11 |- ( B : NN0 --> CC -> B Fn NN0 )
2819, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B Fn NN0 )
29 nn0ex 11298 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
31 inidm 3822 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
32 eqidd 2623 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
33 eqidd 2623 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
3426, 28, 30, 30, 31, 32, 33ofval 6906 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
3534adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
3635oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
3714, 21, 16adddird 10065 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3911, 38sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4039sumeq2dv 14433 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
41 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
4241nn0zd 11480 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
43 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
4443, 41ifcld 4131 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. NN0 )
4544nn0zd 11480 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
4641nn0red 11352 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
4743nn0red 11352 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
48 max1 12016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
4946, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
50 eluz2 11693 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
5142, 45, 49, 50syl3anbrc 1246 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52 fzss2 12381 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
5453adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
55 elfznn0 12433 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
5655, 17sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
57 eldifn 3733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
59 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
6059, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
62 nn0uz 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
63 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
6564, 62syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
66 uzsplit 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
6862, 67syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
6941nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
70 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
71 pncan 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
7269, 70, 71sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
7372oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
7473uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
7568, 74eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
7675ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
7761, 76eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
78 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
7977, 78sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
8079ord 392 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
8158, 80mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
82 ffun 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A : NN0 --> CC -> Fun A )
8312, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun A )
84 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
8584, 68syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
86 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A : NN0 --> CC -> dom A = NN0 )
8712, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom A = NN0 )
8885, 87sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
89 funfvima2 6493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9083, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9190ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9281, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
93 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
9493ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
9592, 94eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
96 elsni 4194 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
9795, 96syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
9897oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
9960, 16sylan2 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
10099mul02d 10234 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
10198, 100eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
10254, 56, 101, 10fsumss 14456 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
10343nn0zd 11480 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
104 max2 12018 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
10546, 47, 104syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
106 eluz2 11693 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
107103, 45, 105, 106syl3anbrc 1246 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) )
108 fzss2 12381 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
110109adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
111 elfznn0 12433 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
112111, 22sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
113 eldifn 3733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
115 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
116115, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
117116adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
118 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11943, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
120119, 62syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121 uzsplit 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12362, 122syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12443nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. CC )
125 pncan 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
126124, 70, 125sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
127126oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
128127uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
129123, 128eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
130129ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
131117, 130eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
132 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
133131, 132sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
134133ord 392 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
135114, 134mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
136 ffun 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B : NN0 --> CC -> Fun B )
13719, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun B )
138 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
139138, 123syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
140 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B : NN0 --> CC -> dom B = NN0 )
14119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom B = NN0 )
142139, 141sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
143 funfvima2 6493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
144137, 142, 143syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
145144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
146135, 145mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
147 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
148147ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
149146, 148eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. { 0 } )
150 elsni 4194 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ` k ) e. { 0 } -> ( B ` k ) = 0 )
151149, 150syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
152151oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
153116, 16sylan2 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
154153mul02d 10234 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
155152, 154eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
156110, 112, 155, 10fsumss 14456 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
157102, 156oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
15824, 40, 1573eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
159158mpteq2dva 4744 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
1609, 159eqtr4d 2659 1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  Polycply 23940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417
This theorem is referenced by:  plyaddlem  23971  coeaddlem  24005
  Copyright terms: Public domain W3C validator